Biến ngẫu nhiên là một hàm số có giá trị thực xác định trên không gian các sự kiện sơ cấp $$X:\mathbf{\Omega}\to\mathbb R.$$
Biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị. Nghĩa là có thể liệt kê các giá trị thành một dãy $x_1, x_2,\cdots$
Biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy một hoặc một số các khoảng hữu hạn hoặc vô hạn và $P(X=a)=0$ với mọi $a$.
Hàm phân phối xác suất được xác định bởi $$F(x)=P(X<x),\quad x\in\mathbb R.$$
Hàm mật độ phân phối xác suất của BNN liên tục: Giả sử $X$ là một BNN liên tục có hàm phân phối $F(x)$. Hàm mật độ của BNN $X$ là hàm $f(x)$ sao cho $\forall x\in\mathbb R$ ta có $F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)dt$.
Kì vọng (giá trị trung bình) của BNN $X$, kí hiệu $E(X)$, được xác định như sau:
(i) $X$ rời rạc nhận các giá trị $x_i$ với xác suất tương ứng $p_i=P(X=x_i)$ thì $E(X)=\sum\limits_i x_ip_i$.
(ii) $X$ liên tục có hàm mật độ $f(x)$ thì $E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)dx$.
Phương sai (độ lệch bình phương trung bình) của BNN $X$ là đại lượng đo sự phân tán bình phương trung bình của $X$ xung quanh giá trị trung bình $E(X)$. Phương sai của $X$, kí hiệu là $D(X)$, và định nghĩa là: $D(X)=E[X-E(X)]^2$.
Độ lệch chuẩn $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$.
Mode là giá trị mà BNN $X$ nhận với xác suất lớn nhất.
Trung vị là giá trị của BNN X chia phân phối thành hai phần có xác suất giống nhau.
Phân vị mức $\alpha$ của BNN $X$ là số $X_\alpha$ được xác định bởi $$P(X<X_\alpha) \leq \alpha \leq P(X \leq X_\alpha).$$
Bảng phân phối xác suất đồng thời của BNN hai chiều rời rạc là bảng liệt kê tất cả các giá trị của $X$ theo hàng, giá trị của $Y$ theo cột và các xác suất tương ứng.
Quy luật phân phối xác suất có điều kiện của các thành phần: nếu ta biết một điều kiện $C_Y$ nào đó của $Y$, thì phân phối có điều kiện của $X$ biết $C_Y$ là: $$P(X=x|C_Y)=\dfrac{P(X=x; C_Y)}{P(C_Y)}.$$
Hàm mật độ có điều kiện của thành phần $X$ biết $Y=y_0$ được xác định bởi $$\varphi(x|y_0)=\dfrac{f(x,y_0)}{f_2(y_0)}=\dfrac{f(x,y_0)}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y_0)dx}.$$
Kì vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên thành phần:
Nếu $X$ là biến rời rạc thì: \begin{align*}E(X)&=\sum_ix_ip_1(x_i)=\sum_i\sum_j x_ip(x_i,y_j);\\D(X)&=\sum_i\big[x_i-E(X)\big]^2p_1(x_i)=\sum_i\sum_jx_i^2p(x_i,y_j)-[E(X)]^2.\end{align*}
Nếu $X$ là biến liên tục thì: \begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_1(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy;\\D(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\big[x-E(X)\big]^2f_1(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x,y)dxdy-[E(X)]^2.\end{align*}
Hiệp phương sai: $$\mathrm{cov}(X,Y)=E\Big[\big(X-E(X)\big)\big(Y-E(Y)\big)]=E(XY)-E(X).E(Y).$$
Hệ số tương quan của 2 BNN $X, Y$ là $ \rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}.$
