Bài 1: Một hệ thống kiểm tra quang học được sử dụng để phân loại các chi tiết khác nhau. Xác suất phân loại chính xác mỗi chi tiết là 0,98. Giả sử rằng 3 chi tiết được kiểm tra và phân loại. Gọi BNN $X$ là số lượng các chi tiết được phân loại chính xác. Xác định hàm phân phối xác suất của $X$.
Bài 2: Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên đạn, trong cùng một số điều kiện nhất định. Xác suất để mỗi xạ thủ bắn trúng mục tiêu lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,9. Gọi $X$ là số viên đạn trúng mục tiêu, tính $E(X), D(X)$ và Mod$(X)$.
Bài 3: Một người điều khiển 3 máy tự động hoạt động độc lập với nhau. Xác suất bị hỏng trong một ca sản xuất của máy 1, máy 2 và máy 3 lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a) Lập bảng phân phối xác suất số máy hoạt động tốt trong một ca sản xuất.
b) Sau sản xuất, người điều khiển báo rằng suốt ca chỉ có một máy hoạt động tốt. Tính xác suất để máy hoạt động tốt đó là máy 1.
c) Trung bình, trong một ca, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong một ca sản xuất.
Bài 4: Gọi $X$ là tuổi thọ của con người. Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của $X$ là $$f(x)=\begin{cases}Cx^2(100-x)^2,&\text{khi }x\in[0;100],\\0,& \text{khi }x\notin [0;100].\end{cases}$$
a) Xác định hằng số C.
b) Tính trung bình và phương sai của $X$.
c) Tính xác suất của một người có tuổi thọ $\geq 60$.
d) Tính xác suất của một người có tuổi thọ $\geq 60$, biết rằng người đó hiện nay đã 50 tuổi.
Bài 5: Một máy sản xuất ra sản phẩm loại A với xác suất 0,485. Tính xác suất trong 200 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 95 sản phẩm loại A.
Bài 6: Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là BNN liên tục với hàm phân phối xác suất như sau: $$F(x)=\begin{cases}0,&\text{khi }x\leq 0,\\ax^3-3x^2+2x,&\text{khi }0<x\leq 1,\\1,&\text{khi }x>1.\end{cases}$$
a) Tìm hệ số $a$ và thời gian xếp hàng trung bình
b) Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút.
Bài 7: Một bài kiểm tra trắc nghiệm có 25 câu hỏi, mỗi câu hỏi có bốn lựa chọn trả lời trong đó có một phương án đúng. Hỏi xác suất một học sinh trả lời đúng:
a) Hơn 20 câu hỏi?
b) Nhiều nhất 5 câu hỏi?
Bài 8: Một trang Web sử dụng mật khẩu đăng nhập thuộc loại có đúng 6 kí tự gồm 26 chữ cái (a-z) hoặc 10 số nguyên (0-9). Giả sử trang Web này có 10 nghìn thành viên và mỗi người có một mật khẩu khác nhau. Một hacker chọn ngẫu nhiên 1 tỉ mật khẩu tiềm năng và so sánh với mật khẩu của thành viên của trang Web. Mỗi một mật khẩu khớp với mật khẩu thành viên thì được gọi là một “phá khóa”. Gọi BNN $X$ là số “phá khóa”.
a) $X$ có phân phối gì?
b) Tính xác suất để $X=0$.
c) Tìm kì vọng và phương sai của $X$.
Bài 9: Một thí sinh tên M tham dự một kì thi môn Toán. M phải làm một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời giải khác nhau, trong đó chỉ có một lời giải đúng. M sẽ được chấm đậu nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu.
a) Giả sử M không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời giải trong cả 10 câu. Tính xác suất để M thi đậu.
b) Giả sử M chắc chắn trả lời đúng được 2 câu; còn các câu khác, M chọn ngẫu nhiên một trong 4 lời giải của mỗi câu. Tính xác suất để M thi trượt.
c) Hỏi M phải dự thi ít nhất mấy lần để xác suất có ít nhất một lần thi đậu không nhỏ hơn 97%.
Bài 10: Xác suất một khách truy cập vào trang Web cung cấp địa chỉ liên hệ để đăng kí thành viên là 0,01. Giả sử có 1000 khách truy cập vào trang Web một cách độc lập. Hỏi xác suất để:
a) Không có khách hàng nào cung cấp địa chỉ liên hệ.
b) Chính xác 10 khách hàng cung cấp địa chỉ liên hệ.
c) Hơn 3 khách hàng cung cấp địa chỉ liên hệ liên hệ.
Bài 11: Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là $P_A=0,1$; ở lô B là $P_B=0,08$ và ở lô C là $P_C=0,15$. Giả sử mỗi lô có rất nhiều chai thuốc.
a) Lấy 3 chai ở lô A. Tìm luật phân phối xác suất của số chai hỏng có trong 3 chai. Tính xác suất để có 2 chai hỏng; có ít nhất 1 chai hỏng. Phải lấy bao nhiêu chai (ở lô A) để xác suất có ít nhất một chai hỏng không nhỏ hơn 94%?
b) Một cửa hàng nhận về 500 chai ở lô A, 300 chai ở lô B và 200 chai ở lô C rồi để lẫn lộn. Một người mua 1 chai về dùng. Tính xác suất để được chai tốt.
Bài 12: Số lượng thư gửi đến trang Web là BNN có phân phối Poisson với trung bình năm thư mỗi giờ. Hỏi xác suất để:
a) 5 thư được gửi đến trong 1 giờ?
b) Có ít hơn hai thư được gửi đến trong 0,5 giờ?
Bài 13: Giả sử tuổi thọ (tính bằng giờ) của quạt chip trong laptop có phân phối mũ với $\lambda=3.10^{-4}$. Hỏi xác suất để quạt hoạt động trong 10000 giờ?
Bài 14: Một tổng đài nhận được trung bình 3 cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất để trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi trong một phút có phân phối Poisson.
Bài 15: Người ta muốn lấy một số hạt lúa từ một kho lúa có tỉ lệ hạt lép là 0,2 để kiểm tra. Biết rằng kho lúa có rất nhiều hạt.
a) Phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt lúa để xác suất có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95%?
b) Lấy ngẫu nhiên 100 hạt lúa, tính xác suất để trong đó có 25 hạt lép; có từ 10 đến 40 hạt lép.
Bài 16: Bưu điện dùng một máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại từng khu vực gửi đi, máy có khả năng đọc được 5000 bì thư trong 1 phút. Khả năng đọc sai 1 địa chỉ trên bì thư là 0,04% (xem như việc đọc 5000 bì thư này là 5000 phép thử độc lập).
a) Tính số bì thư trung bình mỗi phút máy đọc sai.
b) Tính số bì thư tin chắc nhất trong mỗi phút máy đọc sai.
c) Tính xác suất để trong một phút máy đọc sai ít nhất 3 bì thư.
Bài 17: Tốc độ truyền dữ liệu từ máy chủ đến máy tính cá nhân của học viên vào buổi tối các ngày trong tuần thường có mức trung bình là 60 kbps và độ lệch chuẩn là 4 kbps.
a) Xác suất một tập tin được truyền với tốc độ trên 70 kbps?
b) Xác suất một tập tin được truyền với tốc độ dưới 58 kbps?
c) 1 tập tin có dung lượng 1 MB, hỏi thời gian trung bình để chuyển tập tin này là bao nhiêu? (Biết mỗi Byte gồm 8 bit.)
