Trong thực tế, một công việc có thể được tiến hành theo 1 trong $k$ phương án:

Phương án thứ nhất: có 1 trong $n_1$ cách thực hiện.

Phương án thứ hai: có 1 trong $n_2$ cách thực hiện.

$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

Phương án thứ $k$: có 1 trong $n_k$ cách thực hiện.

Gọi $n$ là số cách hoàn thành công việc nói trên, ta có: $n=n_1+n_2+\cdots +n_k$ và được gọi là quy tắc cộng.

Ví dụ 1.1. Các nhóm I, II, III lần lượt có 2, 3, 3 học viên. Cần chọn 2 học viên cùng một nhóm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Để hoàn thành một công việc, ta phải thực hiện dãy liên tiếp $k$ hành động:

Hành động thứ nhất: có 1 trong $n_1$ cách thực hiện.

Hành động thứ hai: có 1 trong $n_2$ cách thực hiện.

$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

Hành động thứ $k$: có 1 trong $n_k$ cách thực hiện.

Gọi $n$ là số cách hoàn thành công việc nói trên, ta có: $n=n_1\times n_2\times\cdots\times n_k$ và được gọi là quy tắc nhân.

Ví dụ 1.2. Để đi từ thành phố A tới thành phố C phải qua thành phố B. Có một trong bốn cách để đi từ A tới B là: đường bộ, đường sắt, đường không và đường biển. Có một trong hai cách để đi từ B tới C là đường bộ và đường sắt. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A tới C?

a) Chỉnh hợp không lặp

Ví dụ 1.3. Có 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Có bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau?

Các số đó là: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43.

Mỗi một số trên chính là một cách sắp xếp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau lấy từ bốn phần tử là bốn chữ số đã cho. Vậy mỗi số là một chỉnh hợp không lặp chập hai của bốn phần tử.

Để tạo ra một chỉnh hợp không lặp chập $k$ của $n$ phần tử ta phải thực hiện một dãy liên tiếp $k$ hành động.

Theo quy tắc nhân, số cách tạo ra một chỉnh hợp không lặp chập $k$ của $n$ phần tử là:

$$ A^k_n=n\times (n-1)\times \cdots \times(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}. $$

Ví dụ 1.4. Một bảng mạch có 8 vị trí khác nhau, mỗi vị trí đặt được 1 linh kiện. Nếu 4 vị trí đã có linh kiện được lắp đặt, hỏi có bao nhiêu mẫu thiết kế khác nhau cho bảng mạch này.

Ta có số cách xếp 8 linh kiện vào 4 vị trí còn lại trên bảng mạch chính là việc chọn 4 phần tử khác nhau từ tập hợp gồm 8 phần tử. Mỗi cách xếp các thiết bị vào bảng mạch tạo ra 1 thiết kế mới nên thứ tự các linh kiện là quan trọng. Vậy số cách tạo ra một bảng mạch hoàn chỉnh là số chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử: $$ A^4_8=\dfrac{8!}{(8-4)!}=8.7.6.5=1680\text{ cách}. $$

b) Chỉnh hợp lặp

Để hiểu thế nào là một chỉnh hợp lặp ta xét ví dụ sau.

Ví dụ 1.5. Hãy lập các số gồm 2 chữ số từ 4 chữ số: 1, 2, 3, 4.

Các số đó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

Mỗi số trong các số nói trên là một cách sắp xếp có thứ tự gồm hai chữ số, mỗi chữ số có thể có mặt đến hai lần lấy từ bốn chữ số đã cho. Mỗi cách sắp xếp như vậy còn gọi là một chỉnh hợp lặp chập hai của bốn phần tử. Tổng quát hoá ta có định nghĩa sau.

Ví dụ 1.6. Cửa của một nhà xe được mở trực tuyến bằng cách kích hoạt một mã gồm 12 kí tự nhị phân. Hỏi có bao nhiêu mã khả dĩ?

Trước khi đưa ra khái niệm một hoán vị của $n$ phần tử ta xét ví dụ sau.

Ví dụ 1.7. Có ba học viên A, B, C được sắp xếp ngồi cùng một bàn học. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Có một trong các cách sắp xếp sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Nhận thấy rằng: đổi chỗ bất kì hai học viên nào cho nhau ta đều được một cách sắp xếp khác. Từ một cách sắp xếp ban đầu, bằng cách đổi chỗ liên tiếp hai học viên cho nhau ta có thể đưa về các cách sắp xếp còn lại. Mỗi một cách sắp xếp như trên còn được gọi là một hoán vị của ba phần tử A, B, C. Tổng quát với tập hợp gồm $n$ phần tử ta có định nghĩa sau.

Theo quy tắc nhân: Số cách tạo ra một hoán vị của $n$ phần tử là:

$$ P_n=n\times(n-1)\times \cdots \times 2\times 1=n!. $$

Ví dụ 1.8. Có 3 cuốn sách Đại số (ĐS), 2 cuốn sách Giải tích (GT) và 5 cuốn sách Xác suất thống kê (XSTK) (các cuốn sách này khác nhau) được xếp vào 1 cái kệ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các cuốn sách cùng loại đứng gần nhau?

Bằng cách đổi chỗ các phần tử cho nhau, một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử có thể tạo ra $k!$ chỉnh hợp không lặp chập $k$ của $n$ phần tử (tức là $A^k_n$). Do đó

$$ C^k_n=\dfrac{A^k_n}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. $$

Ví dụ 1.9. Mỗi đề thi gồm có 5 câu hỏi khác nhau chọn từ ngân hàng 50 câu hỏi đã cho. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu đề thi khác nhau?