a) Định nghĩa

Nhận xét:

(i) Các BNN rời rạc nhận một số hữu hạn các giá trị luôn có kì vọng.

(ii) Các BNN rời rạc nhận một số vô hạn đếm được hoặc không đếm được các giá trị có thể không có giá trị kì vọng.

(iii) Kì vọng của BNN $X$ là giá trị đặc trưng cho vị trí (trung tâm) của BNN, tức là các giá trị cụ thể của $X$ sẽ tập trung quanh kì vọng.

Ví dụ 2.9. Hàm mật độ xác suất của BNN $X$ là $f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$. Tính $E(X)$?

Ví dụ 2.10. Giả sử một cái bình đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1 kg, 2 quả nặng 2 kg, 3 quả nặng 3 kg. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu và gọi $X$ là trọng lượng của quả cầu đó. Tính $E(X)$ và so sánh $E(X)$ với trọng lượng trung bình của 1 quả cầu trong hộp.

Tính chất: 

(i) $E(C)=C$ với $C$ là hằng số;

(ii) $E(C.X)=C.E(X)$;

(iii) $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$;

(iv) Nếu $X,Y$ độc lập thì $E(X.Y)=E(X).E(Y)$;

(v) Nếu $Y=\varphi(X)$ thì $E(Y)=\sum\limits_i\varphi(x_i)p(x_i)$ hoặc $E(Y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)dx$, trong đó $p(x)$ và $f(x)$ là các hàm xác suất và mật độ xác suất tương ứng.

b) Ý nghĩa của kì vọng

Tiến hành $n$ phép thử. Giả sử $X$ là BNN nhận các giá trị có thể $x_1,x_2,\cdots,x_N$ với số lần xuất hiện tương ứng $k_1,k_2,\cdots,k_N$. Giá trị trung bình (trung bình cộng) của BNN $X$ trong $n$ phép thử là $$ \overline{X}=\dfrac{x_1k_1+x_2k_2+\cdots+x_Nk_N}{n}=\dfrac{k_1}{n}x_1+\cdots+\dfrac{k_N}{n}x_N=\sum\limits_{i=1}^Nx_if_i $$ với $f_i=\dfrac{k_i}{n}$ là tần suất để $X$ nhận giá trị $x_i$.

Sử dụng định nghĩa xác suất theo lối thống kê ta có $\lim\limits_{n\to\infty} f_i=p_i$. Vì vậy với $n$ đủ lớn ta có $$ \overline{X}=\sum\limits_{i=1}^Nx_ip_i=E(X). $$

Như vậy, kì vọng chính là tổng có trọng số của tất cả các giá trị của $X$, hay còn là trị trung bình (trung bình có trọng số) của BNN (phân biệt với trung bình cộng của các giá trị). Trong thực tế, nếu quan sát các giá trị của $X$ nhiều lần và lấy trung bình cộng (trung bình số học), thì khi số quan sát càng lớn, số trung bình đó càng gần tới kì vọng $E(X)$, vì vậy kì vọng còn được gọi là trung bình số học của biến $X$ mà không sợ nhầm lẫn.

Ví dụ 2.11. Một người dùng 10 000 đồng để mua 1 con số nằm trong dãy số từ 00 đến 99. Người mua sẽ thắng 700 000 đồng nếu số mua trùng với 2 số cuối của giải đặc biệt do Nhà nước phát hành trong ngày hôm đó. Hãy tìm số tiền thắng trung bình của một lần chơi như vậy.

Ví dụ 2.12. Một gia đình chi tiêu trong một tháng ở 2 mức: 10 triệu hoặc 8 triệu đồng, trong đó có 11 tháng ở mức 10 triệu, chỉ có 1 tháng ở mức 8 triệu. Hỏi trung bình mỗi tháng gia đình này tiêu hết bao nhiêu tiền?

Như vậy có 2 mức chi tiêu nên trung bình số học (trung bình cộng) sẽ là $(10+8)/2=9$ triệu đồng. Nhưng trung bình có trọng số (kì vọng) sẽ là $10.\dfrac{11}{12}+8.\dfrac{1}{12}\approx 9,83$ triệu đồng. Rõ ràng kì vọng phản ánh chính xác hơn, hợp lí hơn trung bình số học.

c) Giá trị kì vọng hình học

Giá trị kì vọng ứng với trung bình cộng, còn giá trị kì vọng hình học ứng với trung bình nhân. Một ví dụ đơn giản sau đây cho thấy sự quan trọng của trung bình nhân trong thực tế.

Ví dụ 2.13. Giả sử giá nhà dao động trong 4 năm như sau. Năm đầu tiên giảm 15%, năm thứ hai tăng 35%, năm thứ ba giảm 20%, năm thứ tư tăng 20%. Hỏi xem trong 4 năm đó giá nhà tăng lên (giảm đi) trung bình mỗi năm bao nhiêu %?

Nếu ta lấy trung bình cộng thì được $(-15\% + 35\% - 20\% + 20\%)/4=5\%$ một năm. Nhưng con số đó có phản ánh chính xác sự đi lên của giá nhà trong 4 năm?

Nếu gọi giá lúc đầu là $X$, thì sau năm đầu giá là $(1-15\%)X$, sau năm thứ hai giá là $(1+35\%)(1-15\%)X$, sau năm thứ ba giá là $(1-20\%)(1+35\%)(1-15\%)X$, sau 4 năm giá là $(1+20\%)(1-20\%)(1+35\%)(1-15\%)X = 1,1016.X$. Tức là sau 4 năm giá nhà chỉ tăng lên 10,16%, chứ không phải 20%. Để có cái nhìn chính xác về độ tăng trưởng trung bình hàng năm trong giai đoạn 4 năm, cần tính như sau $$ \big[(1+0,2)(1-0,2)(1+0,35)(1-0,15)\big]^{1/4}-1\approx 0,02449, $$ tức là giá nhà tăng 2,449% một năm.

Trung bình nhân có thể được định nghĩa qua trung bình cộng $$\label{2.4} \Big(\prod\limits_i x_i\Big)^{1/n}=\exp\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_i\ln x_i\right). \tag{2.4}$$

Mặt khác hàm $f(x)=\ln x$ là hàm lõm trên nửa đường thẳng dương (đạo hàm bậc hai của nó bằng $-1/x^2$ là một hàm âm), do đó $$ \dfrac{1}{n}\sum\limits_i\ln x_i\leq \ln\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_i x_i\right). $$

Lấy $\exp$ hai vế của bất đẳng trên ta được $$\label{2.5} \Big(\prod\limits_i x_i\Big)^{1/n}\leq \dfrac{1}{n}\sum\limits_i x_i, \tag{2.5}$$ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số $x_i$ bằng nhau.

Từ \eqref{2.4} gợi ý cho ta định nghĩa giá trị kì vọng hình học của $X$ sau đây. 

Từ \eqref{2.5}, ta được $G(X)\leq E(X)$. Dấu “=” xảy ra khi $X$ là hằng số.

Ví dụ 2.14. Giả sử có một cơ hội đầu tư trong đó khả năng thắng/thua là 50-50, sau 1 tháng sẽ biết kết quả. Nếu thắng thì lãi 100%, nếu thua thì lỗ 50% số tiền bỏ ra. Hỏi đối với người đầu tư thì có nên đầu tư vào những cơ hội như vậy không? Theo bạn nên đầu tư với nhiều nhất bao nhiêu % vốn đầu tư (để đạt kì vọng lợi nhuận cao nhất, giả sử là không có các cơ hội đầu tư khác)?

Trước hết, ta có thể tính giá trị kì vọng lợi nhuận của đầu tư theo cơ hội trên với 1 đơn vị vốn bỏ ra. Gọi $L$ là biến “lợi nhuận”, ta có 2 khả năng: hoặc $L=1$ hoặc $L=-1/2$, mỗi khả năng có xác suất 50%. Như vậy kì vọng lợi nhuận trên 1 đơn vị vốn bỏ ra là: $$E(L) = 0,5.1+0,5.(-1/2) = 0,25.$$ Kì vọng lợi nhuận ở đây là dương (bằng 25% vốn bỏ ra trong một tháng), nên đây là cơ hội nên đầu tư, trừ khi có những cơ hội khác tốt hơn.

Câu hỏi thứ hai là nhà đầu tư nên đầu tư vào đó nhiều nhất là bao nhiêu phần trăm vốn đầu tư? Nếu giả sử đầu tư toàn bộ 100% vốn. Khi đó có 2 khả năng, hoặc là tổng số vốn tăng lên gấp đôi, hoặc là giảm đi còn 1 nửa, với xác suất của mỗi khả năng là 50%. Nhưng nếu một nhà đầu tư mà làm như vậy 2 lần liên tiếp, 1 lần thắng và 1 lần thua, thì sau hai lần số vốn lại về như cũ, không tăng trưởng được gì. Muốn đảm bảo cho vốn tăng trưởng “về lâu về dài”, cái cần tính đến không phải là kì vọng của vốn sau mỗi lần đầu tư, mà là giá trị kì vọng hình học. Nếu giả sử chỉ có 1 cơ hội đầu tư duy nhất như trên, thì giá trị kì vọng hình học của vốn có được sau khi đầu tư $Y$ tiền vào đó trên tổng số $X$ tiền sẽ là $\sqrt{(X-Y/2)(X+Y)}$. Để tối đa hóa giá trị kì vọng hình học tức là tìm $Y$ sao cho $\sqrt{(X-Y/2)(X+Y)}$ đạt cực đại, ta cần chọn $Y=X/2$ (với $X$ cho trước), và khi đó giá trị kì vọng hình học của vốn sau khi đầu tư là $\sqrt{(X-X/4)(X+X/2)}=1,061.X$. Như vậy, kì vọng lợi nhuận của một cơ hội đầu tư như trên, tính trên toàn bộ vốn của nhà đầu tư, chỉ có không quá 6,1% chứ không phải 25%.