Bài 1: Một công ty điện tử sản xuất điện trở có trở kháng trung bình là 100$\Omega$ và độ lệch chuẩn là 10$\Omega$. Giả sử trở kháng có phân phối chuẩn. Tìm xác suất mà một mẫu ngẫu nhiên gồm điện trở sẽ có trở kháng trung bình nhỏ hơn 95$\Omega$.
Bài 2: Độ dày oxit của 24 tấm bán dẫn có số liệu như sau:
425, 431, 416, 419, 421, 436, 418, 410, 431, 433, 423, 426, 410, 435, 436, 428, 411, 426, 409, 437, 422, 428, 413, 416.
a) Tìm ước lượng điểm cho độ dày oxit trung bình.
b) Tìm ước lượng điểm cho độ lệch chuẩn của độ dày oxit.
Bài 3: Đo sức bền chịu lực của một loại ống thí nghiệm, người ta thu được bộ số liệu sau:
4500, 6500, 5200, 4800, 4900, 5125, 6200, 5375.
Từ kinh nghiệm nghề nghiệp, người ta cũng biết rằng sức bền đó có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn $\sigma=300$. Hãy ước lượng sức bền trung bình của loại ống trên, với độ tin cậy 90%.
Bài 4: Phân tích Vitamin của 17 mẫu ta được $\overline{X}=20$mg. Biết rằng lượng Vitamin có phân phối chuẩn $\mathcal N(\mu;\sigma^2)$ với $\sigma=3,98$mg.
a) Hãy ước lượng lượng Vitamin trung bình với độ tin cậy 95%.
b) Nếu muốn sai số ước lượng không quá 1mg ở độ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy trường hợp.
Bài 5:
a) Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng đèn hình TV có độ lệch chuẩn bằng 500, nhưng chưa biết trung bình. Ngoài ra, tuổi thọ của loại bóng đèn này tuân theo luật phân phối chuẩn. Khảo sát trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 bóng loại trên, người ta tính được tuổi thọ trung bình là 8900 giờ. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn hình nói trên.
b) Một tổng thể $X$ có phân phối chuẩn. Quan sát một mẫu ngẫu nhiên kích thước 25 người ta tính được trung bình là 15 và độ lệch chuẩn là 3. Hãy ước lượng kì vọng của $X$ bằng khoảng tin cậy 95%.
c) Độ tin cậy sẽ là bao nhiêu nếu cùng mẫu như trên thì sai số ước lượng bằng 130 giờ.
Bài 6: Người ta đo ion $Na^+$ trên một số người và ghi nhận lại kết quả như sau:
129,132, 140, 141, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140
a) Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu.
b) Ước lượng trung bình và phương sai của tổng thể ở độ tin cậy 0,95.
c) Nếu muốn sai số ước lượng trung bình không quá $\varepsilon=1$ với độ tin cậy 0,95 thì phải quan sát mẫu gồm ít nhất mấy người?
Bài 7: Muốn biết trong ao có bao nhiêu cá, người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả xuống hồ. Sau một thời gian, người ta bắt lên 500 con và thấy có 20 con cá có đánh dấu của lần bắt trước.
a) Dựa vào kết quả đó, hãy ước lượng số cá có trong hồ với độ tin cậy 95%.
b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì lần sau phải bắt bao nhiêu con cá.
Bài 8: Điểm trung bình môn Giải tích của 100 học viên là 5 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh 2,5.
a) Ước lượng điểm trung bình môn Giải tích của học viên toàn trường với độ tin cậy là 95%.
b) Với sai số 0,25 điểm. Hãy xác định độ tin cậy.
Bài 9: Lô trái cây của một chủ cửa hàng được đóng thành sọt mỗi sọt 100 quả. Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 quả không đạt tiêu chuẩn.
a) Ước lượng tỷ lệ quả không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%.
b) Muốn ước lượng tỷ lệ quả không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,5%, độ tin cậy đạt được là bao nhiêu.
c) Muốn ước lượng tỷ lệ quả không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt.
d) Muốn ước lượng tỷ lệ quả không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% thì độ chính xác đạt được là bao nhiêu?
Bài 10: Trong một cuộc điều tra về nhịp mạch của 64 thanh niên làm nghề A, kết quả là nhịp mạch trung bình 74 lần/phút và độ lệch chuẩn bằng 9 lần/phút. Hãy kiểm định xem đặc điểm nghề A có làm cho nhịp mạch của thanh niên tăng quá mức bình thường không, biết rằng nhịp mạch bình thường của thanh niên là 72 lần/phút. (kết luận với mức $\alpha=1%$).
Bài 11: Một công ty bào chế một loại thuốc chữa dị ứng tuyên bố rằng thuốc của họ có hiệu quả không dưới 90% trong việc làm giảm cơn dị ứng trong vòng 8 giờ. Một mẫu gồm 200 người bị dị ứng sử dụng loại thuốc trên, có 160 người giảm cơn dị ứng. Hãy xác định xem lời tuyên bố của công ty có giá trị không? (ở mức ý nghĩa $\alpha=0,07$).
Bài 12: Trước đây, Nhà máy Delta sản xuất ra một loại sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 5%. Năm nay, sau đợt cải tiến kỹ thuật, để kiểm tra hiệu quả, người ta lấy ra một mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 24 phế phẩm.
a) Với mức ý nghĩa $\alpha=5$%, hãy kiểm định xem đợt cải tiến kỹ thuật có thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm không?
b) Sau đợt cải tiến kỹ thuật, nếu nhà máy báo cáo tỉ lệ phế phẩm là 2% thì có chấp nhận được không? (ở mức ý nghĩa $\alpha=3$%).
Bài 13: Hàm lượng đường trong máu của công nhân sau 5 giờ làm việc với máy siêu cao tần đã đo được ở hai thời điểm trước và sau 5 giờ làm việc. Ta có kết quả sau:
Trước: $n_1=50$, $\overline{X}=60$ mg %, $S_X=7$,
Sau: $n_2=40$, $\overline{Y}=52$ mg %, $S_Y=9,2$.
Với mức ý nghĩa $\alpha=0,05$, có thể khẳng định hàm lượng đường trong máu sau 5 giờ làm việc đã giảm đi hay không?
Bài 14: Trong thập niên 80, khối lượng trung bình của thanh niên là 48kg. Nay để xác định lại khối lượng ấy, người ta chọn ngẫu nhiên 100 thanh niên đo khối lượng trung bình là 50kg và phương sai mẫu hiệu chỉnh $S^2=100$kg$^2$.
a) Thử xem khối lượng thanh niên hiện nay phải chăng có thay đổi, với mức có ý nghĩa là 1%.
b) Nếu khối lượng thực tế của người thanh niên là 51kg thì xác suất mắc sai lầm loại 2 là bao nhiêu.
c) Nếu muốn xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1% và xác suất mắc sai lầm loại 2 không vượt quá 5% thì phải đo khối lượng của bao nhiêu thanh niên nếu khối lượng trung bình thực tế của thanh niên hiện nay không vượt quá 52kg.
d) Nếu muốn xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1% và xác suất mắc sai lầm loại 2 không vượt quá 5% thì phải đo khối lượng của bao nhiêu thanh niên nếu khối lượng trung bình thực tế của thanh niên hiện nay trong khoảng $(44;52)$.
Bài 15: Một mẫu gồm 300 cử tri ở khu vực A và một mẫu gồm 200 cử tri ở khu vực B cho thấy có 56% và 48%, theo thứ tự, ủng hộ ứng cử viên X. Ở mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định giả thiết:
a) Có sự khác biệt giữa hai khu vực về sự ủng hộ ứng cử viên X.
b) Ứng cử viên X được ủng hộ hơn ở khu vực A.
