Như chúng ta đã biết, xác suất của một sự kiện có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác nhau. Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện $A$ nào đó phụ thuộc vào một điều kiện $B$ cho trước ra sao, người ta đưa ra khái niệm xác suất có điều kiện. Điều kiện $B$ cũng có thể hiểu là một sự kiện, tức là sự kiện “có $B$”.
Ví dụ 1.19. Một kênh liên lạc kỹ thuật số có tỷ lệ lỗi là 1 bit cho mỗi $10^{6}$ lượt truyền tin. Lỗi này có xác suất nhỏ, nhưng khi chúng xảy ra, chúng có xu hướng ảnh hưởng đến nhiều bit liên tiếp. Như vậy một bit được truyền đi thì xác suất lỗi là $1/10^6$; tuy nhiên, nếu bit trước đó bị lỗi thì chắc chắn xác suất để lỗi ở bit tiếp theo sẽ lớn hơn $1/10^6$.
1.3.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.7. Giả sử điều kiện $B$ có $P(B)>0$, khi đó xác suất của sự kiện $A$ biết rằng điều kiện $B$ đã xảy ra, kí hiệu là $P(A|B)$, được định nghĩa là $$\label{dn2}P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.\tag{1.6}$$
Một hệ quả trực tiếp của định nghĩa xác suất có điều kiện là công thức tích: $$\label{nhan}P(A\cap B)=P(A|B).P(B).\tag{1.7}$$
Tất nhiên, ta cũng có thể coi $B$ là sự kiện, $A$ là điều kiện, và khi đó ta có $$\label{nhan1}P(A\cap B)=P(B|A).P(A).\tag{1.8}$$
Để mô tả xác suất có điều kiện bằng tần suất, ta kí hiệu $n_A, n_B$ và $n_{AB}$ lần lượt là số lần xảy ra sự kiện $A, B$ và $A\cap B$ trong loạt $n$ phép thử với $n$ đủ lớn. Theo định nghĩa xác suất cổ điển, ta có $$P(A\cap B)=\dfrac{n_{AB}}{n}\quad\text{và}\quad P(B)=\dfrac{n_B}{n}.$$
Vì điều kiện $B$ đã xảy ra nên số kết quả có thể cho sự kiện $A$ là $n_B$, trong đó số kết quả thuận lợi cho sự kiện $A$ là $n_{AB}$. Do đó $$P(A|B)=\dfrac{n_{AB}}{n_B}=\dfrac{n_{AB}/n}{n_B/n}=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$
Ví dụ 1.20. Một tổ điều tra dân số vào thăm một gia đình có 2 con.
a) Tính xác suất gia đình có 2 con trai.
b) Gia đình đang nói chuyện thì có 1 cậu con trai ra chào khách. Tính xác suất để gia đình này có 2 con trai.
Với một gia đình có 2 con thì ta có 4 khả năng xảy ra: {TT, TG, GT, GG}.
a) Gọi $A$ là sự kiện “gia đình này có 2 con trai” thì $P(A)=1/4$.
b) Gọi $B$ là sự kiện “gia đình này có con trai” thì $P(B)=3/4$.
Sự kiện “cậu con trai ra chào khách” tức là điều kiện $B$ đã xảy ra. Xác suất để gia đình có 2 con trai là $$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1/4}{3/4}=\dfrac{1}{3}.$$
Như vậy, khi điều kiện $B$ chưa xảy ra thì xác suất của sự kiện $A$ là 1/4. Tuy nhiên khi điều kiện $B$ xảy ra thì khả năng xảy ra sự kiện $A$ đã tăng lên là $P(A|B)=1/3$.
Ví dụ 1.21. Một học viên thi 2 môn, xác suất đậu môn thứ nhất là 0,6. Nếu môn thứ nhất đậu thì khả năng học viên đó đậu môn thứ hai là 0,8. Nếu môn thứ nhất không đậu thì khả năng học viên đó đậu môn thứ hai chỉ là 0,6. Tính xác suất trong các trường hợp sau:
a) Học viên đó đậu chỉ một môn.
b) Học viên đó đậu 2 môn.
a) Gọi $A$ là sự kiện “học viên đó đậu chỉ một môn”,
$A_i$ là sự kiện “học viên đó đậu môn thứ $i\, (i=1,2)$”.
Ta có \begin{align*}P(A)&=P(A_1\overline{A_2}\cup\overline{A_1}A_2)=P(A_1\overline{A_2})+P(\overline{A_1}A_2)\\ &=P(A_1).P(\overline{A_2}|A_1)+P(\overline{A_1}).P(A_2|\overline{A_1})=0,6.0,2+0,4.0,6=0,36.\end{align*}
b) Gọi $B$ là sự kiện “học viên đó đậu 2 môn” thì $B=A_1\cap A_2$. Suy ra $$P(B)=P(A_1\cap A_2)=P(A_1).P(A_2|A_1)=0,6.0,8=0,48.$$
Xác suất có điều kiện cho phép chúng ta sử dụng thông tin về khả năng xảy ra của một sự kiện để dự báo xác suất xảy ra một sự kiện khác. Từ \eqref{nhan} có thể mở rộng ra công thức xác suất của $n$ sự kiện diễn ra đồng thời $$\label{nhans}P(A_1\cap \cdots\cap A_n)=P(A_1).P(A_2|A_1).P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_n|A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}).$$
Ví dụ 1.22. Một lô hàng có 100 USB trong đó có 90 USB tốt và 10 USB lỗi. Kiểm tra ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 5 USB. Nếu có ít nhất 1 USB lỗi trong 5 USB được kiểm tra thì không nhận lô hàng. Tìm xác suất để nhận lô hàng.
Gọi $A_i$ là sự kiện “USB được kiểm tra thứ $i$ là tốt”, $i=\overline{1,5}$,
$A$ là sự kiện “nhận lô hàng”.
Khi đó $A=A_1\cap\cdots\cap A_5$.
Theo công thức mở rộng cho $n$ sự kiện, ta có \begin{align}P(A)&=P(A_1).P(A_2|A_1).P(A_3|A_1\cap A_2).P(A_4|A_1\cap A_2\cap A_3).P(A_5|A_1\cap \cdots\cap A_4)\\&=\dfrac{90}{100}\cdot\dfrac{89}{99}\cdot\dfrac{88}{98}\cdot\dfrac{87}{97}\cdot\dfrac{86}{96}.\end{align}
1.3.2. Sự độc lập và phụ thuộc của các sự kiện
Hai sự kiện $A$ và $B$ được gọi là độc lập với nhau khi việc có hay không xảy ra sự kiện $B$ không ảnh hưởng gì đến việc có hay không xảy ra sự kiện $A$. Nói cách khác, xác suất của $A$ với điều kiện $B$ bằng với xác suất của $A$ khi không tính đến điều kiện $B$.
Định nghĩa 1.8. Ta nói rằng $A$ và $B$ là 2 sự kiện độc lập nếu $$\label{dl} P(A|B)=P(A)\quad \text{ hoặc}\quad P(B|A)=P(B) \tag{1.10}$$hay viết cách khác $$ P(A\cap B)=P(A).P(B). $$
Việc kiểm tra biểu thức \eqref{dl} trong thực tiễn rất khó khăn và trong nhiều trường hợp là không thể. Vì vậy dựa vào thực tế và trực giác mà ta thừa nhận các sự kiện độc lập trong các bài tập sau này.
Một cách tổng quát, giả sử một họ $\mathcal E$ (hữu hạn hoặc vô hạn) các sự kiện. Khi đó:
Định nghĩa 1.9. Họ $\mathcal E$ được gọi là một họ các sự kiện độc lập, nếu như với bất kì $k$ sự kiện $A_1, A_2,\cdots, A_k$ khác nhau nào trong họ $\mathcal E$ ta cũng có $$\label{hdl}P\Big(\bigcap\limits_{i=1}^kA_i\Big)=\prod\limits_{i=1}^kP(A_i).\tag{1.11}$$
Nếu $P(A\cap B)=P(A).P(B)$ với bất kì hai sự kiện khác nhau nào trong họ $\mathcal E$ thì họ $\mathcal E$ được gọi là họ các sự kiện độc lập từng đôi một.
Nếu như hai sự kiện không độc lập với nhau, thì người ta nói là chúng phụ thuộc nhau. Do tính chất đối xứng, nếu sự kiện $A$ phụ thuộc vào sự kiện $B$ thì $B$ cũng phụ thuộc vào $A$. Nếu như $P(A|B)>P(A)$ thì ta có thể nói là điều kiện $B$ thuận lợi cho sự kiện $A$, và ngược lại nếu $P(A|B)<P(A)$ thì điều kiện $B$ không thuận lợi cho sự kiện $A$.
Công thức $P(A|B).P(B)=P(B|A).P(A)$ tương đương với $\dfrac{P(A|B)}{P(A)}=\dfrac{P(B|A)}{P(B)}$ có thể được hiểu như sau: $B$ thuận lợi cho $A$ (tức là $P(A|B)>P(A)$) thì $A$ cũng thuận lợi cho $B$ và ngược lại.
