2.1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên
a) Khái niệm
“Biến” là cái có thể thay đổi. “Ngẫu nhiên” nghĩa là ta chưa xác định được. Một biến có thể là ngẫu nhiên với người này, nhưng không ngẫu nhiên với người khác, tùy theo lượng thông tin nhận được. Ví dụ, số tuổi của ông A là một số xác định, không ngẫu nhiên đối với ông A, nhưng nó là một số không xác định, ngẫu nhiên với ông B nào đó.
Khái niệm biến số (đại lượng biến thiên) đã rất thông dụng trong toán giải tích. Chính vì thế ta tìm cách đưa vào khái niệm biến số ngẫu nhiên như là một đại lượng phụ thuộc vào kết cục của một phép thử ngẫu nhiên.
Ví dụ 2.1. Khi nghiên cứu BNN “nhiệt độ” của một phản ứng hóa học trong một khoảng thời gian nào đó, ta thấy nhiệt độ đó nhận giá trị trong một khoảng $[t;T]$, trong đó $t$ và $T$ tương ứng là các nhiệt độ thấp nhất và cao nhất của phản ứng trong khoảng thời gian trên.
Về mặt hình thức, có thể định nghĩa BNN như là một hàm số có giá trị thực xác định trên không gian các sự kiện sơ cấp (sao cho nghịch ảnh của một khoảng số là một sự kiện), tức là $$ X:\mathbf{\Omega}\to \mathbb R, $$trong đó $\mathbf{\Omega}$ là không gian các sự kiện sơ cấp. Để phân biệt sau này ta kí hiệu $X, Y$,... là các BNN, còn $x,y$,... là giá trị của các BNN đó. Như vậy, $X$ mang tính ngẫu nhiên, còn $x$ là giá trị cụ thể quan sát được khi phép thử đã tiến hành. Trong giáo trình này, ta chỉ xét những BNN thỏa mãn điều kiện $X(\omega)<+\infty$, với mọi $\omega\in\mathbf{\Omega}$.
Tương tự như với các số và các hàm số, ta có thể làm nhiều phép toán khác nhau với các BNN: cộng, trừ, nhân, chia, lấy giới hạn, tích phân, hàm hợp... Qua các phép toán như vậy, chúng ta có thể suy ra các BNN mới từ các BNN cho trước.
Ví dụ 2.2. Một học sinh thi vào đại học phải thi 3 môn. Điểm của mỗi môn có thể coi là BNN. Tổng điểm cũng là một BNN, và là tổng của 3 BNN trước.
Ví dụ 2.3. Tốc độ $V$ của một xe ô tô đang chạy trên đường có thể coi là một BNN. Nếu xe đang chạy mà phải phanh gấp lại vì phía trước có nguy hiểm, thì từ thời điểm người lái xe đạp phanh cho đến thời điểm xe dừng lại, xe phải chạy thêm được một quãng đường có độ dài $D$ nữa. $D$ cũng có thể coi là một BNN. Nó không phải là tỷ lệ thuận với $V$, mà là tỷ lệ thuận với $V^2$. Tức là BNN $D$ có thể được sinh ra từ BNN $V$ theo công thức: $D = k.V^2$. Hệ số $k$ ở đây phụ thuộc vào điều kiện của đường và điều kiện của xe; nó có thể coi là xác định nếu ta biết các điều kiện này, còn nếu không thì có thể coi là một BNN khác. Ví dụ, trong điều kiện bình thường, thì $k=0,08 s^2/m$, một xe đang chạy với tốc độ 36km/h (10m/s) thì từ lúc bóp phanh đến lúc dừng hẳn sẽ chạy thêm $0,08\times 10^2=8$ mét, nhưng nếu xe đang chạy với tốc độ 72km/h ($2\times 36$km/h) thì từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn sẽ chạy thêm những $8\times 2^2=32$ mét.
b) Phân loại
BNN được gọi là rời rạc, nếu tập giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử. Ví dụ: số điểm thi của một học sinh, số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong một đơn vị thời gian, số viên đạn trúng đích khi bắn liên tiếp $n$ viên đạn độc lập vào một mục tiêu,...
BNN được gọi là liên tục, nếu tập giá trị của nó lấp kín một khoảng trên trục số (số phần tử của tập giá trị là vô hạn không đếm được). Ví dụ: độ cao của một cây tại thời gian $t$ nào đó, nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó, độ dài của chi tiết máy, tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử đang hoạt động,...
Như vậy miền giá trị của một BNN rời rạc sẽ là một dãy số $x_1, x_2,\cdots, x_n,\cdots$ có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Miền giá trị của một BNN liên tục sẽ là một đoạn $[a,b]\subset \mathbb R$ hoặc là chính $\mathbb R = (-\infty, +\infty)$.
