a) Bài toán 1 (phương sai $\mathbf{\sigma^2}$ đã biết)

Chọn thống kê $\hat{\mu}:=Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}$. Từ giả thiết phân phối chuẩn của $X$ (hoặc theo Định lí 2.6) ta có $Z\sim\mathcal N(0;1)$. Theo (3.5), ta cần tìm các phân vị $z_{\alpha_1}$ và $z_{1-\alpha_2}$ thỏa mãn: \begin{align*}P(z_{\alpha_1}<Z<z_{1-\alpha_2})=\beta&\Leftrightarrow P(z_{\alpha_1}<\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}<z_{1-\alpha_2})=\beta\\&\Leftrightarrow P(\overline{X}-z_{1-\alpha_2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}-z_{\alpha_1}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})=\beta.\end{align*}

Do phân vị của phân phối chuẩn có tính chất $-z_{\alpha_1}=z_{1-\alpha_1}$ nên từ đẳng thức trên ta thu được khoảng tin cậy cần tìm là $$\label{3.6}\overline{X}-z_{1-\alpha_2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+z_{1-\alpha_1}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.\tag{3.7}$$

Từ Định nghĩa 2.19 về giá trị tới hạn mức $\alpha$ của phân phối chuẩn tắc, ta có biểu thức \eqref{3.6} tương đương với $$\label{3.7}\overline{X}-U_{\alpha_2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+U_{\alpha_1}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. \tag{3.8}$$

Như vậy đối với độ tin cậy $\beta$ cho trước, ta sẽ có vô số cặp $\alpha_1,\alpha_2$ thỏa mãn $\alpha_1+\alpha_2=\alpha$ và tương ứng có vô số khoảng tin cậy. Một số trường hợp đặc biệt:

(i) Khoảng tin cậy đối xứng: Nếu ta chọn $\alpha_1=\alpha_2=\dfrac{\alpha}{2}$ thì từ \eqref{3.7} ta có $$\overline{X}-U_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+U_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$

Đại lượng $\varepsilon=U_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ được gọi là độ chính xác (hay sai số) của ước lượng, nó phản ánh độ lệch của trung bình mẫu so với kì vọng lí thuyết với độ tin cậy $\beta$.

Với độ chính xác $\varepsilon_0$ và độ tin cậy $\beta$ cho trước thì kích thước mẫu cần thiết là số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa mãn: $n\geq \dfrac{\sigma^2U^2_{\alpha/2}}{\varepsilon_0^2}$.

(ii) Khoảng tin cậy phải: Nếu chọn $\alpha_1=0$ và $\alpha_2=\alpha$ thì $U_0=+\infty$ và khoảng tin cậy là $$\left(\overline{X}-U_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}};+\infty\right).$$

(iii) Khoảng tin cậy trái: Nếu chọn $\alpha_1=\alpha$ và $\alpha_2=0$ thì $U_0=+\infty$ và khoảng tin cậy là $$\left(-\infty;\overline{X}+U_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).$$

Nếu không nói rõ tìm khoảng tin cậy bên phải hay bên trái thì ta quy ước là cần tìm khoảng tin cậy đối xứng.

Ví dụ 3.10. Khối lượng sản phẩm là BNN $X$ có luật phân phối chuẩn, biết rằng phương sai $\sigma^2=4g^2$. Kiểm tra 25 sản phẩm, tính được khối lượng trung bình là 20g.

a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình của sản phẩm.

b) Nếu sai số ước lượng $\varepsilon=0,4$g thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu?

c) Với $\varepsilon<0,4$g, muốn độ tin cậy 95% thì phải kiểm tra ít nhất mấy sản phẩm?

Chú ý: Công thức sai số $\varepsilon$ cho thấy: độ tin cậy $1-\alpha$ càng lớn thì sai số $\varepsilon$ càng lớn, do đó khoảng ước lượng $(\overline{X}-\varepsilon;\overline{X}+\varepsilon)$ cho giá trị thông tin thấp. Kết quả câu b) cho thấy nếu giảm sai số $\varepsilon$ thì khoảng ước lượng $(\overline{X}-\varepsilon;\overline{X}+\varepsilon)$ có giá trị thông tin cao nhưng độ tin cậy của ước lượng giảm xuống. Như vậy, muốn có sai số $\varepsilon$ nhỏ và độ tin cậy $1-\alpha$ lớn thì tăng kích thước mẫu $n$, tương tự kết quả câu c).

b) Bài toán 2 (phương sai $\sigma^2$ chưa biết, kích thước mẫu $n\geq 30$)

Trong nhiều bài toán thực tế, ta không biết phương sai $\sigma^2$ của BNN tổng thể $X$. Nhưng nếu kích thước mẫu $n$ đủ lớn ($n \geq 30$), ta có thể xấp xỉ độ lệch chuẩn $\sigma$ bởi độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh $S$ (vì $S^2$ là ước lượng vững, không chệch của $\sigma^2$). Khi đó khoảng tin cậy của tham số $\mu$ với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ bao gồm:

(i) Khoảng tin cậy đối xứng: $\left(\overline{X}-U_{\alpha/2}\dfrac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+U_{\alpha/2}\dfrac{S}{\sqrt{n}}\right).$ 

(ii) Khoảng tin cậy phải: $\left(\overline{X}-U_{\alpha}\dfrac{S}{\sqrt{n}};+\infty\right).$

(iii) Khoảng tin cậy trái: $\left(-\infty;\overline{X}+U_{\alpha}\dfrac{S}{\sqrt{n}}\right).$

c) Bài toán 3 (phương sai $\sigma^2$ chưa biết, kích thước mẫu $n< 30$)

Phân phối khi bình phương $n$ bậc tự do $\chi^2(n)$:

Rõ ràng \eqref{3.9} cho ta cách nhận biết một BNN có phân phối khi bình phương xuất phát từ $n$ biến độc lập cùng phân phối chuẩn tắc. Các đặc số quan trọng của phân phối khi bình phương gồm: $E(Z_n)=n$, $D(Z_n)=2n$. Các tính chất của phân phối $\chi^2$:

(i) Nếu $X\sim\chi^2(n)$, $Y\sim\chi^2(m)$ và độc lập thì $X+Y\sim \chi^2(n+m)$.

(ii) BNN $\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{2n}}\sim\mathcal N(0;1)$ khi $n\to\infty$.

(iii) Giả sử $n$ BNN độc lập $X_i\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2), i=\overline{1,n}$ và $\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ thì $\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2\sim\chi^2(n-1)$.

(iv) Giá trị tới hạn khi bình phương $n$ bậc tự do mức $\alpha$, kí hiệu $\chi^2_\alpha(n)$, được định nghĩa là $P\big(\chi^2>\chi^2_\alpha(n)\big)=\alpha$.

(v) Bảng các giá trị tới hạn $\chi^2_\alpha(n)$ cho trong Bảng III phần Phụ lục.

Phân phối Student $n$ bậc tự do $T(n)$

Các tính chất của phân phối Student:

(i) $E(T_n)=0,\, (n>1)$ và $D(T_n)=\dfrac{n}{n-2},\, (n>2)$.

(ii) Khi $n$ khá lớn thì quy luật Student $T(n)$ hội tụ khá nhanh về phân phối $\mathcal N(0;1)$. Trong thực tế, nếu $n>30$ ta có thể xem thống kê Student xấp xỉ $\mathcal N(0;1)$.

(iii) Giá trị tới hạn mức $\alpha$ của phân phối Student $n$ bậc tự do, kí hiệu $t_\alpha(n)$ thỏa mãn $$P\big(T>t_\alpha(n)\big)=P\big(T<-t_\alpha(n)\big)=P\big(|T|>t_{\alpha/2}(n)\big)=\alpha.$$

(iv) Bảng tính các giá trị tới hạn $t_\alpha(n)$ cho trong Bảng IV phần Phụ lục.

Theo tính chất (iii) của phân phối $\chi^2$, ta có $$\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2\sim\chi^2(n-1),$$ khi đó, thống kê $$\label{3.14}T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{S}\sqrt{n}=\dfrac{\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}}{\sqrt{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2(n-1)}}}=\dfrac{\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}}{\sqrt{\chi^2/(n-1)}}\sim T(n-1).\tag{3.10}$$

Tương tự cách xây dựng đối với trường hợp Bài toán 1, ta nhận được các khoảng tin cậy của tham số $\mu$ với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ bao gồm: 

(i) Khoảng tin cậy đối xứng: $$\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\cdot\dfrac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\cdot\dfrac{S}{\sqrt{n}}\right).$$

(ii) Khoảng tin cậy phải: $\left(\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\cdot\dfrac{S}{\sqrt{n}};+\infty\right)$.

(iii) Khoảng tin cậy trái: $\left(-\infty;\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\cdot\dfrac{S}{\sqrt{n}}\right)$.

Ví dụ 3.11. Để đánh giá nhiệt độ lớn nhất trung bình ở tỉnh Khánh Hòa vào ngày 5 tháng 9 (giả sử nhiệt độ tuân theo luật chuẩn), người ta lấy số liệu ở 5 vùng của tỉnh đo được trong ngày là 29, 31, 33, 35 và 36 độ C. Xác định khoảng tin cậy 95% cho nhiệt độ cao nhất trung bình trong ngày đang xét.

Để ý đây là khoảng tin cậy 95% tính trên bộ số liệu cụ thể của ví dụ, nó hoàn toàn không có nghĩa là xác suất để trung bình thật rơi vào khoảng tin cậy trên là 0,95. Bởi vậy không nên quên rằng độ tin cậy 95% của một khoảng nào đó được hiểu theo nghĩa thông kê (tức là nếu cứ làm thí nghiệm 100 lần với các khoảng tin cậy 95% thì có khoảng 95 lần giá trị trung bình thật nằm trong khoảng đó).

Nhận xét: Nếu BNN gốc không tuân theo luật phân phối chuẩn, việc xác định khoảng tin cậy cho $E(X)$ sẽ rất phức tạp và đòi hỏi các kỹ thuật hiện đại hơn. Tuy nhiên trong trường hợp $n$ đủ lớn, cả hai thống kê $Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}$ và $T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{S}\sqrt{n}$ đều có phân phối xấp xỉ $\mathcal N(0;1)$. Do đó các thủ tục ước lượng khoảng làm giống như Bài toán 1.

a) Bài toán 4 (kì vọng $\mu$ đã biết)

Từ giả thiết $X\sim\mathcal N(\mu;\sigma^2)$, các BNN của mẫu ngẫu nhiên $X_i\sim\mathcal N(\mu;\sigma^2)$ hay $\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\sim\mathcal N(0;1)$ với $i=\overline{1,n}$.

Thống kê $\overline{S}^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$ được gọi là phương sai mẫu khi biết kì vọng tổng thể $\mu$. Xét thống kê $$Z=\dfrac{n\overline{S}^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\right)\sim\chi^2(n).$$

Từ tính chất (iv) của phân phối $\chi^2$, ta chọn các phân vị $\chi^2_{\alpha_1}(n)$ và $\chi^2_{1-\alpha_2}(n)$ thỏa mãn \begin{align*}P\big(\chi^2_{1-\alpha_2}(n)<Z<\chi^2_{\alpha_1}(n)\big)=\beta&\Leftrightarrow P\left(\chi^2_{1-\alpha_2}(n)<\dfrac{n\overline{S}^2}{\sigma^2}<\chi^2_{\alpha_1}(n)\right)=\beta\\&\Leftrightarrow P\left(\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{\alpha_1}(n)}<\sigma^2<\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{1-\alpha_2}(n)}\right)=\beta.\end{align*}

Như vậy, với độ tin cậy $\beta$, khoảng tin cậy của phương sai $\sigma^2$ có dạng $$\label{3.11}\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{\alpha_1}(n)}<\sigma^2<\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{1-\alpha_2}(n)}.\tag{3.12}$$

Tùy theo cách chọn mức $\alpha_1, \alpha_2$ thỏa mãn $\alpha_1+\alpha_2=\alpha$ ta nhận được các khoảng tin cậy của phương sai $\sigma^2$ với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ gồm:

(i) Khoảng tin cậy đối xứng: Nếu ta chọn $\alpha_1=\alpha_2=\dfrac{\alpha}{2}$ thì từ \eqref{3.11} ta có $$\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)}<\sigma^2<\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}.$$

(ii) Khoảng tin cậy phải: Nếu chọn $\alpha_1=\alpha$, $\alpha_2=0$ thì $\chi^2_{1}(n)=0$ và khoảng tin cậy là $$\left(\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{\alpha}(n)};+\infty\right).$$

(iii) Khoảng tin cậy trái: Nếu chọn $\alpha_1=0$, $\alpha_2=\alpha$ thì $\chi^2_{0}(n)=\infty$ và khoảng tin cậy là $$\left(0;\dfrac{n\overline{S}^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n)}\right).$$

b) Bài toán 5 (kì vọng $\mu$ chưa biết)

Theo tính chất (iii) của phân phối $\chi^2$, ta có $$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2\sim\chi^2(n-1).$$

Lập luận tương tự Bài toán 4 ta có các khoảng tin cậy cho phương sai $\sigma^2$ của tổng thể với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ là

(i) Khoảng tin cậy đối xứng: $\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)};\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$.

(ii) Khoảng tin cậy phải: $\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha}(n-1)};+\infty\right)$.

(iii) Khoảng tin cậy trái: $\left(0;\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}\right)$.

Ví dụ 3.13. Kiểm tra 25 sản phẩm của một công ty sản xuất thức ăn đóng gói ta được kết quả sau

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng phương sai của trọng lượng các sản phẩm trong 2 trường hợp:

a) Biết trọng lượng trung bình $\mu=200g$,

b) Không biết trọng lượng trung bình.