\begin{ex}
Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có nghiệm là:
\choice
{$x = 2$ và $x = 4$}
{$x = 1$ và $x = 5$}
{\True $x = 2$ và $x = 3$}
{$x = -2$ và $x = -3$}
\loigiai{
Giải phương trình: $x^2 - 5x + 6 = 0$\\
Ta có: $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$\\
Nên: $x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$ và $x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$\\
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$ và $x = 3$.
}
\end{ex}
\begin{ex}
Vẽ đồ thị hàm số $y = x^2$:
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = $x$,
ylabel = $y$,
xmin = -3, xmax = 3,
ymin = 0, ymax = 9
]
\addplot[domain=-3:3, samples=100, color=blue, thick]{x^2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
Điểm cực tiểu của hàm số $y = x^2$ là:
\choice
{$(-1, 1)$}
{$(1, 1)$}
{\True $(0, 0)$}
{$(-2, 4)$}
\loigiai{
Hàm số $y = x^2$ có đạo hàm $y' = 2x$.\\
Giải $y' = 0 \Rightarrow x = 0$.\\
Khi $x < 0$ thì $y' < 0$ và khi $x > 0$ thì $y' > 0$, nên $x = 0$ là điểm cực tiểu.\\
Giá trị của hàm tại $x = 0$ là $y = 0^2 = 0$.\\
Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $(0, 0)$.
}
\end{ex}
\begin{ex}
Xác định các phát biểu đúng/sai.
\choiceTF
{Tập hợp số thực $\mathbb{R}$ là tập hợp con của tập hợp số phức $\mathbb{C}$. \True}
{Phương trình $x^2 + 1 = 0$ có nghiệm thực.}
{Đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$. \True}
{Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có $x^2 \geq 0$. \True}
\loigiai{
a) Đúng, vì $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.\\
b) Sai, phương trình $x^2 + 1 = 0$ không có nghiệm thực.\\
c) Đúng, đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$.\\
d) Đúng, với mọi số thực $x$, ta luôn có $x^2 \geq 0$.\\
}
\end{ex}
\begin{ex}
Tìm độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3 và 4.
\shortans{5}
\loigiai{
Áp dụng định lý Pytago: $c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
Suy ra $c = 5$
}
\end{ex}
\begin{ex}
Cho bảng sau:
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$ & $f(x)$ & $f'(x)$ \\
\hline
1 & 3 & 2 \\
2 & 5 & 4 \\
3 & 9 & 6 \\
\hline
\end{tabular}
Hàm số $f(x)$ có dạng:
\choice
{$f(x) = x + 2$}
{$f(x) = 2x$}
{\True $f(x) = x^2 + 2$}
{$f(x) = 3x$}
\loigiai{
Ta thấy $f'(x) = 2x$ nên $f(x) = x^2 + C$.\\
Thay $x = 1$ ta có: $f(1) = 1^2 + C = 3 \Rightarrow C = 2$.\\
Vậy $f(x) = x^2 + 2$.
}
\end{ex}