Lời giải

      Bước 1: Xác định các điểm quay: Điểm quay được xác định từ phương trình $E = V(x)$: \begin{align} ax^2 &= E \Rightarrow |x| \leq \sqrt{\frac{E}{a}}, \quad x < 0, \\ bx^2 &= E \Rightarrow x \leq \sqrt{\frac{E}{b}}, \quad x \geq 0. \end{align} Vậy các điểm quay là: \begin{equation} x = -\sqrt{\frac{E}{a}}, \quad x = \sqrt{\frac{E}{b}}. \end{equation}       

       Bước 2: Thiết lập phương trình chuyển động: Bảo toàn năng lượng: \begin{equation} \frac{1}{2}m v^2 + V(x) = E. \end{equation} Suy ra: \begin{equation} \frac{dx}{dt} = \pm \sqrt{\frac{2}{m} (E - V(x))}. \end{equation}

       Bước 3: Tính chu kỳ chuyển động: Chu kỳ $T$ được tính bằng: \begin{equation} T = 2 \int_{-\sqrt{\frac{E}{a}}}^{\sqrt{\frac{E}{b}}} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(x))}}. \end{equation} Chia thành hai phần: \begin{align} T &= 2 \left( \int_{-\sqrt{\frac{E}{a}}}^{0} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - ax^2)}} + \int_{0}^{\sqrt{\frac{E}{b}}} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - bx^2)}} \right). \end{align}
       Bước 4: Tính các tích phân: Dùng phép đổi biến: \begin{align} x &= \sqrt{\frac{E}{a}} \sin \theta, \quad \text{cho } x < 0, \\ x &= \sqrt{\frac{E}{b}} \sin \phi, \quad \text{cho } x \geq 0. \end{align} Điều này biến các tích phân thành dạng chuẩn để tính toán.