Để tìm tần số góc của dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng bền, ta có thể tiến hành như sau:          

        1. Tìm vị trí cân bằng bền: Để hạt ở vị trí cân bằng, lực tác dụng lên hạt phải bằng không. Do đó, ta cần tính đạo hàm của thế năng \( V(x) \) theo \( x \) và tìm vị trí mà lực \( F(x) = -\frac{dV}{dx} = 0 \).          

        Với: \[ V(x) = -\alpha x^2 + \beta x^4 \]                   Đạo hàm của \( V(x) \) theo \( x \) là: \[ \frac{dV}{dx} = -2\alpha x + 4\beta x^3 \]                 Để tìm vị trí cân bằng, ta giải phương trình: \[ -2\alpha x + 4\beta x^3 = 0 \]                   Ta có thể chia cả hai vế cho \( x \) (giả sử \( x \neq 0 \)): \[ -2\alpha + 4\beta x^2 = 0 \] \[ x^2 = \frac{\alpha}{2\beta} \]                   Vậy có hai vị trí cân bằng là: \[ x = \pm \sqrt{\frac{\alpha}{2\beta}} \]                   2. Xét dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng: Giả sử dao động nhỏ xảy ra quanh vị trí cân bằng \( x_0 = \sqrt{\frac{\alpha}{2\beta}} \).                   

         Khi đó, ta có thể khai triển thế năng \( V(x) \) quanh \( x_0 \) bằng cách lấy khai triển Taylor đến bậc hai của \( V(x) \) quanh \( x_0 \): \[ V(x) \approx V(x_0) + \frac{1}{2} V''(x_0) (x - x_0)^2 \]                  Trong đó, \( V''(x_0) \) là đạo hàm bậc hai của \( V(x) \) tại \( x_0 \), được tính như sau: \[ V''(x) = \frac{d^2V}{dx^2} = -2\alpha + 12\beta x^2 \] Thay \( x = x_0 = \sqrt{\frac{\alpha}{2\beta}} \): \[ V''(x_0) = -2\alpha + 12\beta \cdot \frac{\alpha}{2\beta} = -2\alpha + 6\alpha = 4\alpha \]                  3. Tính tần số góc: Với thế năng gần đúng là \( V(x) \approx V(x_0) + \frac{1}{2} V''(x_0) (x - x_0)^2 \), ta có hệ dao động điều hòa với tần số góc \( \omega \) xác định bởi: \[ \omega = \sqrt{\frac{V''(x_0)}{m}} \]                  Thay \( V''(x_0) = 4\alpha \): \[ \omega = \sqrt{\frac{4\alpha}{m}} = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\sqrt{m}} \]         Vậy tần số góc của dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng bền là: \[ \omega = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\sqrt{m}} \]