13.4. Phương vi phân trình tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng 

Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng là phương trình vi phân có dạng: \[y''+py'+qy=f(x)\]
trong đó $p$, $q$ là các hằng số.

Trường hợp 1. Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực khác nhau $k_1,k_2$

Khi đó, phương trình tuyến tính thuần nhất có 2 nghiệm riêng ${{y}_{1}}={{e}^{{{k}_{1}}x}};{{y}_{2}}={{e}^{{{k}_{2}}x}}$. Dễ thấy 2 nghiệm này độc lập tuyến tính  ($\dfrac{{{e}^{{{k}_{1}}x}}}{{{e}^{{{k}_{2}}x}}}={{e}^{({{k}_{1}}-{{k}_{2}})x}}\ne const$)

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng  với  $C_1, C_2$ là những hằng số tùy ý.

Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực trùng nhau $k_1=k_2$

Khi đó, phương trình tuyến tính thuần nhất có 1 nghiệm riêng ${{y}_{1}}={{e}^{{{k}_{1}}x}}$.

Ta sẽ tìm nghiệm riêng $y_2$ độc lập tuyến tính với $y_1$ dưới dạng ${{y}_{2}}={{y}_{1}}u=u{{e}^{{{k}_{1}}x}},\text{ }u=u(x)$.

Ta có, $y{{'}_{2}}=u'{{e}^{{{k}_{1}}x}}+{{k}_{1}}u{{e}^{{{k}_{1}}x}};y{{''}_{2}}=u''{{e}^{{{k}_{1}}x}}+2{{k}_{1}}u'{{e}^{{{k}_{1}}x}}+{{k}^{2}}_{1}u{{e}^{{{k}_{1}}x}}$.

Thế $y_2$, $ y'_2$, $ y''_2$ vào phương trình $y''+py'+qy=0$, ta có

$u''{{e}^{{{k}_{1}}x}}+2{{k}_{1}}u'{{e}^{{{k}_{1}}x}}+{{k}^{2}}_{1}u{{e}^{{{k}_{1}}x}}+p(u'{{e}^{{{k}_{1}}x}}+{{k}_{1}}u{{e}^{{{k}_{1}}x}})+qu{{e}^{{{k}_{1}}x}}=0$.

Hay ${{e}^{{{k}_{1}}x}}\text{ }\!\![\!\!\text{ }u''+u'(2{{k}_{1}}+p)+u({{k}^{2}}_{1}+p{{k}_{1}}+q)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=0$

Vì ${{e}^{kx}}>0$ và $k_1$ là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên \[\begin{cases}{{k}_{1}}=-\dfrac{p}{2} \\{{k}^{2}}_{1}+p{{k}_{1}}+q=0 \\\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2{{k}_{1}}+p=0 \\{{k}^{2}}_{1}+p{{k}_{1}}+q=0 \\\end{cases}\]

Do đó, $u''=0\Rightarrow u'=A\Rightarrow u=Ax+B,\text{ }A,B-const$.

Chọn $A=1, B=0$ ta được $u=x$, do đó ${{y}_{2}}=x{{e}^{{{k}_{1}}x}}$

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là:

$y={{C}_{1}}{{e}^{{{k}_{1}}x}}+{{C}_{2}}x{{e}^{{{k}_{1}}x}}$ hay $y={{e}^{{{k}_{1}}x}}({{C}_{1}}+{{C}_{2}}x)$ với $C_1, C_2$ là những hằng số tùy ý.

Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp ${{k}_{1}}=\alpha +i\beta ,{{k}_{2}}=\alpha -i\beta ,$

Khi đó, phương trình tuyến tính thuần nhất có 2 nghiệm riêng ${{y}_{1}}={{e}^{(\alpha +i\beta )x}}={{e}^{\alpha x}}{{e}^{i\beta x}};{{y}_{2}}={{e}^{(\alpha -i\beta )x}}={{e}^{\alpha x}}{{e}^{-i\beta x}}$.

Theo công thức Ơle thì: \[\begin{cases}{{y}_{1}}={{e}^{\alpha x}}(\cos \beta x+i\sin \beta x) \\{{y}_{2}}={{e}^{\alpha x}}(\cos \beta x-i\sin \beta x) \\\end{cases}\]

Theo định lí 1, $y_1$, $y_2$ là 2 nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất thì $Y_1$, $Y_2$ với \[\begin{cases}{{Y}_{1}}=\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}={{e}^{\alpha x}}\cos \beta x \\{{Y}_{2}}=\dfrac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{2i}={{e}^{\alpha x}}\sin \beta x \\\end{cases}\]

cũng là 2 nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất.

Dễ thấy 2 nghiệm này độc lập tuyến tính (vì $\dfrac{{{Y}_{1}}}{{{Y}_{2}}}=\cot \beta x\ne const$)

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là:

$y={{C}_{1}}{{e}^{\alpha x}}\cos \beta x+{{C}_{2}}{{e}^{\alpha x}}\sin \beta x$ hay $y={{e}^{\alpha x}}({{C}_{1}}\cos \beta x+{{C}_{2}}\sin \beta x)$ với $C_1, C_2$ là những hằng số tùy ý.

Trường hợp 1. $f(x)={{e}^{\alpha x}}{{P}_{n}}(x)$ trong đó ${{P}_{n}}(x)$ là đa thức bậc không quá $n$ của $x$, $\alpha $ là một hằng số.

Có 3 khả năng xảy ra:

Khả năng 1. Nếu $\alpha $ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm một nghiệm riêng của phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ dưới dạng $Y={{e}^{\alpha x}}{{Q}_{n}}(x)$ trong đó  ${{Q}_{n}}(x)$ là một đa thức cùng bậc với ${{P}_{n}}(x)$ và $n+1$ hệ số chưa biết của đa thức ${{Q}_{n}}(x)$ sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định (thế $Y,Y',Y''$ vào phương trình tuyến tính không thuần nhất, ta có phương trình $Q{{''}_{n}}(x)+(2p+\alpha )Q{{'}_{n}}(x)+({{\alpha }^{2}}+p\alpha +q){{Q}_{n}}(x)={{P}_{n}}(x)$, vì $\alpha $ không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ${{\alpha }^{2}}+p\alpha +q\ne 0$ do đó vế trái và vế phải đều là đa thức bậc $n$ ta đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của $x$ ở hai vế của phương trình trên, ta được $n+1$ phương trình bậc nhất với $n+1$ ẩn là các hệ số của đa thức ${{Q}_{n}}(x)$).

Khả năng 2. Nếu $\alpha $ là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng mà ta vẫn tìm một nghiệm riêng của phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ dưới dạng $Y={{e}^{\alpha x}}{{Q}_{n}}(x)$ thì khi thế $Y,Y',Y''$ vào phương trình tuyến tính không thuần nhất, ta có phương trình $Q{{''}_{n}}(x)+(2p+\alpha )Q{{'}_{n}}(x)+({{\alpha }^{2}}+p\alpha +q){{Q}_{n}}(x)={{P}_{n}}(x)$, vì $\alpha $ là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên ${{\alpha }^{2}}+p\alpha +q=0;2\alpha +p\ne 0$ do đó vế trái là đa thức bậc $n-1$ trong khi vế phải là đa thức bậc $n$, muốn cho hàm $Y={{e}^{\alpha x}}{{Q}_{n}}(x)$ nghiệm đúng phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ ta phải nâng bậc của đa thức ${{Q}_{n}}(x)$ lên 1 đơn vị mà không làm tăng số các hệ số của nó, để được như vậy ta nhân đa thức  ${{Q}_{n}}(x)$ với $x$.

Như vậy, nếu $\alpha $ là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm một nghiệm riêng của phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ dưới dạng $Y=x{{e}^{\alpha x}}{{Q}_{n}}(x)$ trong đó ${{Q}_{n}}(x)$ là một đa thức cùng bậc với ${{P}_{n}}(x)$ và $n+1$ hệ số chưa biết của đa thức ${{Q}_{n}}(x)$ sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.

Khả năng 3. Nếu $\alpha $ là nghiệm kép của phương trình đặc trưng  thì ${{\alpha }^{2}}+p\alpha +q=0$ và $2\alpha +p=0$ do đó, vế trái của phương trình $Q{{''}_{n}}(x)+(2p+\alpha )Q{{'}_{n}}(x)+({{\alpha }^{2}}+p\alpha +q){{Q}_{n}}(x)={{P}_{n}}(x)$ là đa thức bậc $n-2$ và vế phải là đa thức bậc $n$, muốn cho hàm $Y={{e}^{\alpha x}}{{Q}_{n}}(x)$ nghiệm đúng phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ ta phải nâng bậc của đa thức ${{Q}_{n}}(x)$ lên 2 đơn vị mà không làm tăng số các hệ số của nó, để được như vậy ta nhân đa thức  ${{Q}_{n}}(x)$ với $x^2$.

Như vậy, nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm một nghiệm riêng của phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ dưới dạng $Y={{x}^{2}}{{e}^{\alpha x}}{{Q}_{n}}(x)$ trong đó ${{Q}_{n}}(x)$ là một đa thức cùng bậc với ${{P}_{n}}(x)$ và $n+1$ hệ số chưa biết của đa thức ${{Q}_{n}}(x)$ sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.

Trường hợp 2.

$f(x)={{e}^{\alpha x}}\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{P}_{n}}(x)\cos \beta x+{{P}_{m}}(x)\sin \beta x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ trong đó ${{P}_{n}}(x),{{P}_{m}}(x)$ là các đa thức bậc không quá $n$ của $x$ và $\alpha,\beta$ là hai hằng số.

Có 2 khả năng xảy ra

Khả năng 1. Nếu $a\pm \beta $  không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm một nghiệm riêng của phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ dưới dạng $Y={{e}^{\alpha x}}\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{\text{Q}}_{l}}(x)\cos \beta x+{{R}_{l}}(x)\sin \beta x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ trong đó  ${{Q}_{l}}(x),{{R}_{l}}(x)$ là các đa thức cùng bậc $l=\max \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }m,n\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ mà các hệ số chưa biết của chúng sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.

Khả năng 2. Nếu $a\pm \beta $ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm một nghiệm riêng của phương trình $y''+py'+qy=f(x)$ dưới dạng $Y=x{{e}^{\alpha x}}\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{\text{Q}}_{l}}(x)\cos \beta x+{{R}_{l}}(x)\sin \beta x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ trong đó  ${{Q}_{l}}(x),{{R}_{l}}(x)$ là các đa thức cùng bậc $l=\max \left\{ m,n \right\}$ mà các hệ số chưa biết của chúng sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.