Định nghĩa. Phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 là phương trình vi phân có dạng
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\tag{13.5}\label{hoa1}\]
trong đó $p(x),\text{ }q(x), \text{ }f(x)$ là những hàm liên
tục của $x$.
Nếu $f(x)=0$ thì ta có phương trình $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ và
gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất (tương ứng của
phương trình \eqref{hoa1}).
Nếu $f(x)\ne 0$ thì phương trình \eqref{hoa1} được gọi là
phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Nếu $p(x)=p,\text{ }q(x)=q\text{ }(p,q-const)$ thì
phương trình \eqref{hoa1} có dạng $y''+py'+qy=f(x)$ và được
gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi (phương
trình tuyến tính có hệ số hằng).
Ví dụ 1. $y''-7y'+6y=\sin
3x$; $y''+3y'+2y=0$; $y''-4y'={{e}^{x}}$ ...là các phương trình
vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng.
Các định
lý
Với phương trình tuyến
tính thuần nhất $y''+p(x)y'+q(x)y=0$
Định lý 1. Nếu
${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x);{{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ là 2 nghiệm của
phương trình tuyến tính thuần nhất thì (với
${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý) cũng là
nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất.
Định lý 2. Nếu
${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x);{{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ là 2 nghiệm độc
lập tuyến tính của phương trình tuyến tính thuần nhất thì
$y={{C}_{1}}{{y}_{1}}(x)+{{C}_{2}}{{y}_{2}}(x)$ (với
${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý) là nghiệm
tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất.
Chú ý.
${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x);{{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ là 2 nghiệm độc
lập tuyến tính nếu $\dfrac{{{y}_{1}}(x)}{{{y}_{2}}(x)}\ne
const$.
Ví dụ 2. ${{y}_{1}}=1;\text{
}{{y}_{2}}={{e}^{4x}}$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của
phương trình $y''-4y'=0$ nên $y={{C}_{1}}+{{C}_{2}}{{e}^{4x}}$
là nghiệm tổng quát của phương trình đó.
Định lý 3. Nếu
${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x)$ là nghiệm của phương trình tuyến tính
thuần nhất thì ta có thể tìm thêm nghiệm
${{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ độc lập tuyến tính với
${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x)$ bằng cách đặt
${{y}_{2}}=u(x){{y}_{1}}(x)$.
Với phương trình tuyến tính không thuần nhất
$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$
Định lý 4. Nghiệm tổng quát của
phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiêm tổng quát
của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một
nghiêm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần
nhất.
Định lý 5 (Nguyên lý chồng chất
nghiệm).
Giả sử $f(x)={{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)$.
Nếu ${{Y}_{1}}={{Y}_{1}}(x)$ là nghiệm riêng của phương trình
tuyến tính $y''+p(x)y'+q(x)y={{f}_{1}}(x)$
Nếu ${{Y}_{2}}={{Y}_{2}}(x)$ là nghiệm riêng của phương trình
tuyến tính $y''+p(x)y'+q(x)y={{f}_{2}}(x)$
Thì $Y={{Y}_{1}}(x)+{{Y}_{2}}(x)$ là nghiệm riêng của
phương trình $y''+p(x)y'+q(x)y={{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)$.
Cách giải
(áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)
Giả sử, ta biết nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính
thuần nhất tương ứng là
$y={{C}_{1}}{{y}_{1}}+{{C}_{2}}{{y}_{2}}$ (*)
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không
thuần nhất dưới dạng (*). Để thực hiện được, ta xem
${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là các hàm của biến và lấy
đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*), ta có:
$y'=C{{'}_{1}}{{y}_{1}}+C{{'}_{2}}{{y}_{2}}+{{C}_{1}}y{{'}_{1}}+{{C}_{2}}y{{'}_{2}}$.
Chọn ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ sao cho
$C{{'}_{1}}{{y}_{1}}+C{{'}_{2}}{{y}_{2}}=0$.
Khi đó, $y'={{C}_{1}}y{{'}_{1}}+{{C}_{2}}y{{'}_{2}}\Rightarrow
y''={{C}_{1}}y{{''}_{1}}+{{C}_{2}}y{{''}_{2}}+C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}$
Thế $y$, $y'$, $y''$ vào phương trình $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$,
ta được:
${{C}_{1}}y{{''}_{1}}+{{C}_{2}}y{{''}_{2}}+C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}+p(x)\left(
{{C}_{1}}y{{'}_{1}}+{{C}_{2}}y{{'}_{2}}
\right)+q(x)({{C}_{1}}{{y}_{1}}+{{C}_{2}}{{y}_{2}})=f(x)$
Hay
${{C}_{1}}(y{{''}_{1}}+p(x)y{{'}_{1}}+q(x){{y}_{1}})+{{C}_{2}}(y{{''}_{2}}+p(x)y{{'}_{2}}+q(x){{y}_{2}})+C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}=f(x)$
Vì ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình tuyến
tính thuần nhất nên
$y{{''}_{1}}+p(x)y{{'}_{1}}+q(x){{y}_{1}}=0$;
$y{{''}_{2}}+p(x)y{{'}_{2}}+q(x){{y}_{2}}=0$
Do đó, $C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}=f(x)$
Như vậy, $y={{C}_{1}}{{y}_{1}}+{{C}_{2}}{{y}_{2}}$ sẽ là nghiệm
tổng quát của phương trình tuyến tính
không thuần nhất $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ nếu ${{C}_{1}},\text{
}{{C}_{2}}$ thỏa mãn hệ phương trình:
\[\begin{cases} C{{'}_{1}}{{y}_{1}}+C{{'}_{2}}{{y}_{2}}=0
\\C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}=f(x)
\\\end{cases}\]
Vì ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ là các nghiệm độc lập tuyến tính của
phương trình tuyến tính thuần nhất nên hệ trên luôn có nghiệm,
giả sử $C{{'}_{1}}={{\varphi }_{1}}(x),\text{
}C{{'}_{2}}={{\varphi }_{2}}(x)$
$\Rightarrow {{C}_{1}}=\int{{{\varphi
}_{1}}(x)dx}+{{K}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}=\int{{{\varphi
}_{2}}(x)dx}+{{K}_{2}}\text{,
}{{K}_{1}},{{K}_{2}}-const$.
Thay ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ vừa tìm được vào (*) ta sẽ
có nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần
nhất cần tìm.
Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân
$y''=\dfrac{y'}{x}+x$.
Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân
$y''-4y'={{e}^{x}}$.