ĐL152: 13.1. Khái niệm về phương trình vi phân cấp 2

Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng \[F(x,y,y',y'')=0\tag{13.1}\label{hoa1}\]
trong đó $F$ là hàm của 4 biến độc lập.

Chú ý. Nếu giải được phương trình \eqref{hoa1} đối với $y''$ thì phương trình vi phân cấp 2 có dạng $y''=f(x,y,y')$ trong đó $f$ là hàm của 3 biến độc lập.

Ví dụ. $y''+2xy'+{{x}^{2}}y=3x$; $y''+4y=x{{e}^{x}}$; $y''+5y'+4y=\sin x$ …là các phương trình vi phân cấp 2.

Định lý (về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)

Cho phương trình vi phân cấp hai $y''=f(x,y,y')$.

i. Nếu hàm $f(x,y,y')$ liên tục trên một miền $V$ nào đó chứa điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}},y{{'}_{0}})$. Khi đó, trong một lân cận nào đó của điểm $x={{x}_{0}}$ tồn tại ít nhất một nghiệm $y=y(x)$ của phương trình đã cho, nghiệm ấy và đạo hàm của nó lấy tại $x={{x}_{0}}$ những trị cho trước ${{y}_{0}}$ và $y{{'}_{0}}$.

ii. Nếu ngoài ra $f{{'}_{y}}(x,y,y')$ và $f{{'}_{y'}}(x,y,y')$ cũng liên tục trên $V$ thì nghiệm ấy là duy nhất.

Chú ý

Điều kiện $y$ và $y'$ lấy tại $x={{x}_{0}}$ những trị cho trước ${{y}_{0}}$ và $y{{'}_{0}}$ được gọi là điều kiện ban đầu hay điều kiện đầu và ta thường viết điều kiện đầu như sau: $y({{x}_{0}})={{y}_{0}},\text{ }y'({{x}_{0}})=y{{'}_{0}}$ hay ${{\left. y \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{y}_{0}},\text{ }{{\left. y' \right|}_{x={{x}_{0}}}}=y{{'}_{0}}$.
Về phương diện hình học, định lý nói rằng nếu các hàm $f(x,y,y')$, $f{{'}_{y}}(x,y,y')$ và $f{{'}_{y'}}(x,y,y')$ cùng liên tục trong một miền chứa điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}},y{{'}_{0}})$ thì tồn tại một nghiệm duy nhất của phương trình $y''=f(x,y,y')$ mà đồ thị của nó đi qua điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ và tại điểm ấy có tiếp tuyến với hệ số góc $y{{'}_{0}}$ .

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm số $y=\varphi (x,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$ (${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý) thỏa mãn phương trình vi phân ấy với mọi ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$, nghĩa là:
i. $y=\varphi (x,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$ thỏa mãn phương trình vi phân cấp 2 với mọi trị của ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$.
ii. $\forall ({{x}_{0}},{{y}_{0}},y{{'}_{0}})$ ở đó các điều kiện của định lý trên được thỏa mãn ta có thể tìm được một cặp giá trị ${{C}_{1}}=C_{1}^{0},{{C}_{2}}=C_{2}^{0}$ sao cho hàm số $y=\varphi (x,C_{1}^{0},C_{2}^{0})$ thỏa mãn điều kiện ban đầu $y({{x}_{0}})={{y}_{0}},\text{ }y'({{x}_{0}})=y{{'}_{0}}$.
Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai là mỗi nghiệm $y=\varphi (x,C_{1}^{0},C_{2}^{0})$ có được từ nghiệm tổng quát $y=\varphi (x,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$ bằng cách cho những hằng số (tùy ý) ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ các trị cụ thể $C_{1}^{0},\text{ }C_{2}^{0}$.

Chú ý

Đôi khi giải phương trình vi phân cấp 2 ta không có được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh $y=\varphi (x,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$ mà được một hệ thức có dạng $\Phi (x,y,{{C}_{1}},{{C}_{2}})=0$ (khi đó nghiệm tổng quát được xác định dưới dạng ẩn) và $\Phi (x,y,{{C}_{1}},{{C}_{2}})=0$ được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp 2.
Về phương diện hình học, tích phân tổng quát của một phương trình vi phân cấp 2 xác định một họ đường cong trong mặt phẳng tọa độ, phụ thuộc hai hằng số tùy ý ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$. Ta gọi các đường cong đó được gọi là những đường cong tích phân của phương trình vi phân cấp 2.
Thay ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ vào hệ thức $\Phi (x,y,{{C}_{1}},{{C}_{2}})=0$ ta được hệ thức $\Phi (x,y,C_{1}^{0},C_{2}^{0})=0$ và gọi là tích phân riêng của phương trình vi phân cấp 2.

Link to discussion

Thảo luận nội dung "Khái niệm về phương trình vi phân cấp 2"

Last modified: Thursday, 5 September 2024, 10:03 AM