12.4. Phương trình Bernoulli

Trước tiên, ta cần lưu ý:

1. Nếu $\alpha =0$ thì phương trình \eqref{hoa1} là phương trình tuyến tính $y'+p(x)y=q(x)$.
2. Nếu $\alpha =1$ thì phương trình \eqref{hoa1} là phương trình tuyến tính thuần nhất $y'+\left[ p(x)-q(x) \right]y=0$.
3. Nếu $\alpha \ne 0$ và $\alpha \ne 1$:

Giả sử $y\ne 0$

Ta chia 2 vế của phương trình \eqref{hoa1} cho ${{y}^{\alpha }}$, ta có: ${{y}^{-\alpha }}y'+p(x){{y}^{1-\alpha }}=q(x)$. 

Tiếp theo, thực hiện phép đổi biến, để đưa phương trình trên về phương trình tuyến tính quen thuộc.

Đặt $t={{y}^{1-\alpha }}$, ta có $t'=(1-\alpha ){{y}^{1-\alpha -1}}y'=(1-\alpha ){{y}^{-\alpha }}y'$

Do đó, ta có phương trình  $\dfrac{1}{1-\alpha }t'+p(x)t=q(x)$.

Hay $t'+(1-\alpha )p(x)t=(1-\alpha )q(x)$ đây là phương trình tuyến tính cấp một đối với hàm $t$ biến $x$. Sau khi tìm được nghiệm tổng quát của phương trình này, trở về biến $y$ ta được nghiệm của phương trình Bernoulli.

*Bằng cách thử trực tiếp, thấy $y=0$ cũng là nghiệm của phương trình Bernoulli.