Cách
1. Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số
Lagrange (giải tương tự ví dụ 4).
Trước tiên, ta giải phương trình tuyến tính thuần nhất
tương ứng $y'-2xy=0$.
Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất
tương ứng là $y=C{{e}^{{{x}^{2}}}}$(*) ($C$ là hằng số
tùy ý).
Tiếp theo, xem $C=C(x)$, lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức
(*) và thế $y,\text{ }y'$ vào phương trình đã cho để tìm
$C$.
$C'{{e}^{{{x}^{2}}}}+C2x{{e}^{{{x}^{2}}}}-2xC{{e}^{{{x}^{2}}}}=3x\Leftrightarrow
C'{{e}^{{{x}^{2}}}}=3x\Leftrightarrow
C'=3x{{e}^{-{{x}^{2}}}}$ hay $dC=3x{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx$
Lấy tích phân bất định 2 vế:
$C=-\dfrac{3}{2}{{e}^{-{{x}^{2}}}}+K,\text{ }K-const$.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
$y=\left( -\dfrac{3}{2}{{e}^{-{{x}^{2}}}}+K
\right){{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K-const$ hay
$y=-\dfrac{3}{2}+K{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K-const$
Cách
2. Biến đổi để đưa về phương
trình vi phân có biến phân li.
$y'-2xy=3x\Leftrightarrow \dfrac{dy}{2y+3}=xdx$.
Lấy tích phân bất định 2 vế: $\dfrac{1}{2}\ln
|2y+3|=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}\ln |C|,\text{
}C-const$
$\Leftrightarrow \ln |2y+3|={{x}^{2}}+\ln |C|\Rightarrow
2y+3=C{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }C-const$
hay $y=-\dfrac{3}{2}+K{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{
}K=\dfrac{C}{2}-const$.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
$y=-\dfrac{3}{2}+K{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K-const$.