12.3. Phương trình tuyến tính cấp 1

Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân có dạng  \[y'+p(x)y=q(x)\tag{12.3}\label{hoa1}\]
trong đó $p(x),\text{ }q(x)$ là những hàm liên tục của $x$.

Nếu $q(x)=0$ thì ta có phương trình $y'+p(x)y=0$ và gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất (tương ứng của phương trình \eqref{hoa1}).

Nếu $q(x)\ne 0$ thì phương trình \eqref{hoa1} được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.

Ví dụ 1.  $y'-\dfrac{2x}{3+{{x}^{2}}}y=0$ là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 2.  $y'-2xy={{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}$ là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Cách giải
(áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Trước hết, ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng của phương trình \eqref{hoa1}: $y'+p(x)y=0$ hay $\dfrac{dy}{dx}=-p(x)y$.

Nếu $y\ne 0$, ta có phương trình $\dfrac{dy}{y}=-p(x)dx$ (phương trình vi phân có biến phân ly)

Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có $\ln |y|=-\int{p(x)dx}+\ln |C|$ $\Rightarrow y=C{{e}^{-\int{p(x)dx}}}$ ($C$ là hằng số tùy ý).

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là: $y=C{{e}^{-\int{p(x)dx}}}$  (*)  ($C$ là hằng số tùy ý).

Ngoài ra, bằng cách thử trực tiếp, thấy $y=0$ cũng là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất (là nghiệm riêng ứng với $C=0$).

Bây giờ, xem $C$ trong (*) không phải là hằng số mà là một hàm của biến $x$  ($C=C(x)$).

Ta tìm $C$ để (*) trở thành nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất \eqref{hoa1} .

Muốn vậy, ta lấy đạo hàm 2 vế của (*), ta có $y'=C'{{e}^{-\int{p(x)dx}}}-Cp(x){{e}^{-\int{p(x)dx}}}$. 

Thế $y,\text{ }y'$ vào phương trình \eqref{hoa1} ta có:

$C'{{e}^{-\int{p(x)dx}}}-Cp(x){{e}^{-\int{p(x)dx}}}+p(x)C{{e}^{-\int{p(x)dx}}}=q(x)$  $\Leftrightarrow C'{{e}^{-\int{p(x)dx}}}=q(x)$

$\Leftrightarrow C'=q(x){{e}^{\int{p(x)dx}}}$ hay $dC=q(x){{e}^{\int{p(x)dx}}}dx$  (phương trình vi phân có biến phân ly).

Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có: $C=\int{q(x){{e}^{\int{p(x)dx}}}dx}+K$ ($K$ là hằng số tùy ý).              

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất \eqref{hoa1} là $y=\left( \int{q(x){{e}^{\int{p(x)dx}}}dx}+K \right){{e}^{-\int{p(x)dx}}}$

hay $y={{e}^{-\int{p(x)dx}}}\int{q(x){{e}^{\int{p(x)dx}}}dx}+K{{e}^{-\int{p(x)dx}}},\text{ }K-const$.

Nhận xét. Ứng với $K=0$ thì ${{e}^{-\int{p(x)dx}}}\int{q(x){{e}^{\int{p(x)dx}}}dx}$ là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất \eqref{hoa1}. Mặt khác $K{{e}^{-\int{p(x)dx}}}$ là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần nhất.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y'-\dfrac{2x}{3+{{x}^{2}}}y=0$ thỏa mãn điều kiện đầu $y(0)=3$.
Giải

Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

$y'-\dfrac{2x}{3+{{x}^{2}}}y=0\Leftrightarrow \dfrac{dy}{y}=\dfrac{2xdx}{3+{{x}^{2}}}$

Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có $\ln |y|=\ln (3+{{x}^{2}})+\ln |C|\Rightarrow y=C(3+{{x}^{2}})$

($C$ là hằng số tùy ý).

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y=C(3+{{x}^{2}})$ ($C$ là hằng số tùy ý).

Với, điều kiện đầu $y(0)=3$, ta có: $3=C(3+0)\Rightarrow C=1$

Nghiệm riêng của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đầu cho trước là $y=3+{{x}^{2}}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân $y'-2xy={{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}$.
Giải

Trước tiên, ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng $y'-2xy=0$ hay $y'=2xy$ hay $\dfrac{dy}{y}=2xdx$.

Lấy tích phân bất định 2 vế: $\ln |y|={{x}^{2}}+\ln |C|\Rightarrow y=C{{e}^{{{x}^{2}}}}$ ($C$ là hằng số tùy ý).

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là $y=C{{e}^{{{x}^{2}}}}$ (*) ($C$ là hằng số tùy ý).

Tiếp theo, xem $C=C(x)$, lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*) ta có:

$y'=C'{{e}^{{{x}^{2}}}}+C2x{{e}^{{{x}^{2}}}}$.

Thế $y,\text{ }y'$ vào phương trình đã cho, ta có:

$C'{{e}^{{{x}^{2}}}}+C2x{{e}^{{{x}^{2}}}}-2xC{{e}^{{{x}^{2}}}}={{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow C'{{e}^{{{x}^{2}}}}={{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow C'={{x}^{2}}$ hay $dC={{x}^{2}}dx$

Lấy tích phân bất định 2 vế: $C=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+K,\text{ }K-const$.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $y=\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+K \right){{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K-const$.

Ví dụ 5. Giải phương trình vi phân $y'-2xy=3x$.
Giải

Cách 1. Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange (giải tương tự ví dụ 4).

Trước tiên, ta giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng $y'-2xy=0$.

Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là $y=C{{e}^{{{x}^{2}}}}$(*) ($C$ là hằng số tùy ý).

Tiếp theo, xem $C=C(x)$, lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*) và thế $y,\text{ }y'$ vào phương trình đã cho để tìm $C$.

$C'{{e}^{{{x}^{2}}}}+C2x{{e}^{{{x}^{2}}}}-2xC{{e}^{{{x}^{2}}}}=3x\Leftrightarrow C'{{e}^{{{x}^{2}}}}=3x\Leftrightarrow C'=3x{{e}^{-{{x}^{2}}}}$ hay $dC=3x{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx$

Lấy tích phân bất định 2 vế: $C=-\dfrac{3}{2}{{e}^{-{{x}^{2}}}}+K,\text{ }K-const$.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $y=\left( -\dfrac{3}{2}{{e}^{-{{x}^{2}}}}+K \right){{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K-const$ hay $y=-\dfrac{3}{2}+K{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K-const$

Cách 2. Biến đổi để đưa về phương trình vi phân có biến phân li.

$y'-2xy=3x\Leftrightarrow \dfrac{dy}{2y+3}=xdx$.

Lấy tích phân bất định 2 vế: $\dfrac{1}{2}\ln |2y+3|=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}\ln |C|,\text{ }C-const$

$\Leftrightarrow \ln |2y+3|={{x}^{2}}+\ln |C|\Rightarrow 2y+3=C{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }C-const$

hay $y=-\dfrac{3}{2}+K{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K=\dfrac{C}{2}-const$.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là  $y=-\dfrac{3}{2}+K{{e}^{{{x}^{2}}}},\text{ }K-const$.

{discussion:1161.12.3}
Last modified: Thursday, 5 September 2024, 10:02 AM