12.3. Phương trình tuyến tính cấp 1

Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân có dạng  (12.3)y+p(x)y=q(x)
trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục của x.

Nếu q(x)=0 thì ta có phương trình y+p(x)y=0 và gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất (tương ứng của phương trình (12.3)).

Nếu q(x)0 thì phương trình (12.3) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.

Ví dụ 1.  y2x3+x2y=0 là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 2.  y2xy=x2ex2 là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Cách giải
(áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Trước hết, ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng của phương trình (12.3): y+p(x)y=0 hay dydx=p(x)y.

Nếu y0, ta có phương trình dyy=p(x)dx (phương trình vi phân có biến phân ly)

Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có ln|y|=p(x)dx+ln|C| y=Cep(x)dx (C là hằng số tùy ý).

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là: y=Cep(x)dx  (*)  (C là hằng số tùy ý).

Ngoài ra, bằng cách thử trực tiếp, thấy y=0 cũng là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất (là nghiệm riêng ứng với C=0).

Bây giờ, xem C trong (*) không phải là hằng số mà là một hàm của biến x  (C=C(x)).

Ta tìm C để (*) trở thành nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (12.3) .

Muốn vậy, ta lấy đạo hàm 2 vế của (*), ta có y=Cep(x)dxCp(x)ep(x)dx

Thế y, y vào phương trình (12.3) ta có:

Cep(x)dxCp(x)ep(x)dx+p(x)Cep(x)dx=q(x)  Cep(x)dx=q(x)

C=q(x)ep(x)dx hay dC=q(x)ep(x)dxdx  (phương trình vi phân có biến phân ly).

Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có: C=q(x)ep(x)dxdx+K (K là hằng số tùy ý).              

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (12.3)y=(q(x)ep(x)dxdx+K)ep(x)dx

hay y=ep(x)dxq(x)ep(x)dxdx+Kep(x)dx, Kconst.

Nhận xét. Ứng với K=0 thì ep(x)dxq(x)ep(x)dxdx là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (12.3). Mặt khác Kep(x)dx là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần nhất.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y2x3+x2y=0 thỏa mãn điều kiện đầu y(0)=3.
Giải

Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

y2x3+x2y=0dyy=2xdx3+x2

Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có ln|y|=ln(3+x2)+ln|C|y=C(3+x2)

(C là hằng số tùy ý).

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y=C(3+x2) (C là hằng số tùy ý).

Với, điều kiện đầu y(0)=3, ta có: 3=C(3+0)C=1

Nghiệm riêng của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đầu cho trước là y=3+x2.

Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân y2xy=x2ex2.
Giải

Trước tiên, ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng y2xy=0 hay y=2xy hay dyy=2xdx.

Lấy tích phân bất định 2 vế: ln|y|=x2+ln|C|y=Cex2 (C là hằng số tùy ý).

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là y=Cex2 (*) (C là hằng số tùy ý).

Tiếp theo, xem C=C(x), lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*) ta có:

y=Cex2+C2xex2.

Thế y, y vào phương trình đã cho, ta có:

Cex2+C2xex22xCex2=x2ex2Cex2=x2ex2C=x2 hay dC=x2dx

Lấy tích phân bất định 2 vế: C=13x3+K, Kconst.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y=(13x3+K)ex2, Kconst.

Ví dụ 5. Giải phương trình vi phân y2xy=3x.
Giải

Cách 1. Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange (giải tương tự ví dụ 4).

Trước tiên, ta giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng y2xy=0.

Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là y=Cex2(*) (C là hằng số tùy ý).

Tiếp theo, xem C=C(x), lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*) và thế y, y vào phương trình đã cho để tìm C.

Cex2+C2xex22xCex2=3xCex2=3xC=3xex2 hay dC=3xex2dx

Lấy tích phân bất định 2 vế: C=32ex2+K, Kconst.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y=(32ex2+K)ex2, Kconst hay y=32+Kex2, Kconst

Cách 2. Biến đổi để đưa về phương trình vi phân có biến phân li.

y2xy=3xdy2y+3=xdx.

Lấy tích phân bất định 2 vế: 12ln|2y+3|=12x2+12ln|C|, Cconst

ln|2y+3|=x2+ln|C|2y+3=Cex2, Cconst

hay y=32+Kex2, K=C2const.

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là  y=32+Kex2, Kconst.

1161.12.3

by Site Owner -
Number of replies: 0

Thảo luận nội dung "Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1"

Last modified: Thursday, 5 September 2024, 10:02 AM