Từ phương trình ${{f}_{1}}(x)dx+{{f}_{2}}( y)dy=0$, ta có ${{f}_{1}}(x)dx=-{{f}_{2}}( y)dy$.
Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có:
$\int{{{f}_{1}}(x)dx}=-\int{{{f}_{2}}( y)dy}\Leftrightarrow
F(x)=-G( y)+C$.
($F(x)$ là một nguyên hàm của ${{f}_{1}}(x)$, $G( y)$ là một
nguyên hàm của ${{f}_{2}}( y)$).
Vậy, Tích phân tổng quát của phương trình có biến phân ly là: $F(x)+G( y)=C$ ($C$ là hằng số tùy ý).
$\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx-3{{y}^{2}}dy=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}dy=\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx$
Lấy tích phân bất định 2 vế: $\int{3{{y}^{2}}dy}=\int{\dfrac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx}\Leftrightarrow {{y}^{3}}=\ln (1+{{x}^{2}})+C$.
Vậy, Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là ${{y}^{3}}-\ln (1+{{x}^{2}})=C$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Giả sử $x\ne 0$ và $y\ne 0$, nhân 2 vế của phương trình đã cho với $\dfrac{1}{xy}$
ta có $\dfrac{1}{x}dx+\dfrac{1}{y}dy=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}$.
Lấy tích phân bất định 2 vế của đẳng thức trên, ta có: $\int{\dfrac{dy}{y}dy}=-\int{\dfrac{dx}{x}dx}\Leftrightarrow \ln |y|=-\ln |x|+\ln |C|\Rightarrow y=\dfrac{C}{x}$.
Vậy, nghiệm phân tổng quát của phương trình đã cho là $y=\dfrac{C}{x}$ ($C$ là hằng số tùy ý).
Ngoài ra, bằng cách thử trực tiếp, ta thấy $x=0$, $y=0$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho (nghiệm kì dị)
Thảo luận nội dung "Phương trình vi phân có biến phân ly"