Định nghĩa. Phương trình vi phân
cấp 1 là phương trình có dạng
\[F(x,y,y')=0\tag{12.1}\label{hoa1}\]
trong đó $F$ là hàm của 3 biến độc lập.
Chú ý. Nếu giải được phương
trình \eqref{hoa1} đối với $y'$ thì phương trình vi phân cấp 1
có dạng $y'=f(x,y)$ hay $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ trong đó $f$ là
hàm của 2 biến độc lập.
Ví dụ. $y'+2xy=0$;
$ydx+xdy=0$; $y'-4xy=x{{e}^{2{{x}^{2}}}}$…là các phương
trình vi phân cấp 1.
Định lý (về sự tồn tại và duy nhất
nghiệm)
Cho phương trình vi phân cấp một $y'=f(x,y)$.
i. Nếu hàm $f(x,y)$ liên tục trên một miền $D$ (nằm trong mặt
phẳng $Oxy$) chứa điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$. Khi đó, trong
một lân cận nào đó của điểm $x={{x}_{0}}$ tồn tại ít nhất một
nghiệm $y=y(x)$ của phương trình đã cho, nghiệm ấy lấy
trị ${{y}_{0}}$ khi $x={{x}_{0}}$.
ii. Nếu ngoài ra $f'_{y}(x,y)$ cũng liên tục trên $D$ thì
nghiệm ấy là duy nhất.
Chú ý
Điều kiện $y=y(x)$ lấy trị ${{y}_{0}}$ khi $x={{x}_{0}}$
được gọi là điều kiện ban đầu hay điều kiện đầu và ta thường
viết điều kiện đầu như sau: $y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$ hay
${{\left. y \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{y}_{0}}$.
Về phương diện hình học, định lý nói rằng nếu hàm $f(x,y)$
và $f{{'}_{y}}(x,y)$ cùng liên tục trong một miền chứa điểm
$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ thì tồn tại một nghiệm duy nhất của
phương trình mà đồ thị của nó đi qua điểm
$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp
1.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một là hàm số
$y=\varphi (x,C)$ ($C$ là hằng số tùy ý) thỏa mãn phương trình
vi phân ấy với mọi $C$, nghĩa là:
i. $y=\varphi (x,C)$ thỏa mãn phương trình vi phân cấp một với
mọi trị của $C$.
ii. $\forall ({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ ở đó các điều kiện của định
lý trên được thỏa mãn ta có thể tìm được một giá trị
$C={{C}_{0}}$ sao cho hàm số $y=\varphi (x,{{C}_{0}})$
thỏa mãn điều kiện ban đầu
$y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$.
Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một là mỗi nghiệm
$y=\varphi (x,{{C}_{0}})$ có được từ nghiệm tổng quát
$y=\varphi (x,C)$ bằng cách cho hằng số (tùy ý) $C$ một trị cụ
thể ${{C}_{0}}$.
Chú ý
Đôi khi giải phương trình vi phân cấp một ta không có được
nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh $y=\varphi (x,C)$ mà được
một hệ thức có dạng $\Phi (x,y,C)=0$ (khi đó nghiệm tổng quát
được xác định dưới dạng ẩn) và $\Phi (x,y,C)=0$ được gọi là
tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp
một.
Về phương diện hình học, tích phân tổng quát của một phương
trình vi phân cấp một xác định một họ đường cong trong mặt
phẳng tọa độ, phụ thuộc một hằng số tùy ý $C$. Ta gọi các
đường cong đó là những đường cong tích phân của phương trình
vi phân cấp một.
Thay $C={{C}_{0}}$ vào hệ thức $\Phi (x,y,C)=0$ ta được hệ
thức $\Phi (x,y,{{C}_{0}})=0$ và gọi là tích phân riêng của
phương trình vi phân cấp một.
Phương trình vi phân cấp một $y'=f(x,y)$ có thể có một số
nghiệm không thuộc họ nghiệm tổng quát, chúng được gọi là
nghiệm kỳ dị.