11.4. Ứng dụng của tích phân bội 3

Ta có, khối lượng riêng tại điểm $M(x,y,z)$ bất kỳ trong khối trụ là $\rho (x,y,z)=kz$ với $k$ là hệ số tỷ lệ.

Như vậy, $m=\iiint\limits_{V}{kzdxdydz}$ với $V$ là hình trụ giới hạn bởi các mặt ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1;z=0;\text{ }z=1$.

Trong tọa độ trụ, miền $V$ được xác định bởi \(\begin{cases}0\le r\le 1 \\0\le \varphi \le 2\pi  \\0\le z\le 1 \\\end{cases}\)

Vậy, chuyển sang tọa độ trụ, ta có: \[m=\iiint\limits_{V}{kzdxdydz}=k\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{1}{zdz}\int\limits_{0}^{1}{rdr}=k.2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{k\pi }{2}(đvkl)\]

Thể tích miền $V$ được cho bởi công thức: $V=\iiint\limits_{V}{dxdydz}$.

Thực hiện phép đổi biến \(\begin{cases}u=x+y+z \\v=x+2y-z \\w=x+4y+z \\\end{cases}\)

Xác định miền $V'$: $V'=\left\{ (u,v,w)\in {{\mathbb{R}}^{3}}|-3\le u\le 3;-1\le v\le 1;-2\le w\le 2 \right\}$

Dễ thấy phép đổi biến trên xác định một song ánh từ $V'$ lên $V$.

Ta có: \(J=\dfrac{D(u,v,w)}{D(x,y,z)}=\left| \begin{matrix}u{{'}_{x}} & u{{'}_{y}} & u{{'}_{z}}  \\v{{'}_{x}} & v{{'}_{y}} & v{{'}_{z}}  \\w{{'}_{x}} & w{{'}_{y}} & w{{'}_{z}}  \\\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}1 & 1 & 1  \\1& 2 & -1 \\1& 4 & 1 \\\end{matrix} \right|=6\ne 0,\text{   }\forall (u,v,w)\in V'\)

Vậy: $$V=\iiint\limits_{V}{dxdydz}=\iiint\limits_{V'}\dfrac{1}{|J|}{dudvdw}=\dfrac{1}{6}\int\limits_{-3}^{3}{du}\int\limits_{-1}^{1}{dv}\int\limits_{-2}^{2}{dw}=8(đvtt).$$