11.3. Phương pháp đổi biến trong tính tích phân bội 3

Công thức đổi biến

Ta cần tìm $\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}$.

Thực hiện phép đổi biến: \[\begin{cases}x=x(u,v,w) \\y=y(u,v,w) \\z=z(u,v,w) \\\end{cases} \tag{*}\label{hoa1}\]

Giả sử

1. Các hàm $x(u,v,w);\text{ }y(u,v,w);\text{ }z=z(u,v,w)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng $V'$ nằm trong không gian $Ouvw$.

2. Các công thức \eqref{hoa1}  xác định 1 song ánh từ $V'$ lên $V$.

3. Định thức \(J=\dfrac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}=\left|\begin{matrix}x{{'}_{u}} & x{{'}_{v}} & x{{'}_{w}}  \\y{{'}_{u}} & y{{'}_{v}} & y{{'}_{w}}  \\z{{'}_{u}} & z{{'}_{v}} & z{{'}_{w}}  \\\end{matrix}\right|\ne 0\), $\forall (u,v,w)\in V'$.

Khi đó ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội 3: \[ \iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_{V'}{f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw}\tag{11.5}\label{hoa2}\]

Tính tích phân bội 3 trong hệ tọa độ trụ

Hệ tọa độ trụ

Công thức tính

Quan hệ giữa các tọa độ Descartes $x,y,z$ và các tọa độ trụ $r,\varphi ,z$ của cùng một điểm $M$: \[\begin{cases}x=r\cos \varphi  \\y=r\sin \varphi  \\z=z \\\end{cases}\tag{**}\label{hoa3}\]  Nếu $r>0;\text{ }\varphi \in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0,2\pi );\text{ }z\in (-\infty ,+\infty )$ thì các công thức \eqref{hoa3} xác định 1 song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ trụ (riêng các điểm trên trục $Oz$ có $z$ xác định, $r=0$, $\varphi $ tùy ý).

Xem các công thức \eqref{hoa3} như một phép đổi biến, ta có: \[J=\dfrac{D(x,y,z)}{D(r,\varphi ,z)}=\left| \begin{matrix}\cos \varphi  & -r\sin \varphi  & 0  \\\sin \varphi  & r\cos \varphi  & 0  \\ 0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right|=r\ne 0\] (trừ tại những điểm trên trục $Oz$)

Ta có công thức tính tích phân bội 3 trong hệ tọa độ trụ như sau: \[\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_{V'}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)rdrd\varphi dz}\tag{11.6}\label{hoa4}\]   

1. Công thức \eqref{hoa4} vẫn đúng trong trường hợp $V$ chứa những điểm thuộc $Oz$.
2. Nếu $V$ là hình trụ  $0\le r\le R;\text{ }0\le z\le h$ thì: \[\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{h}{dz}\int\limits_{0}^{R}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)rdr}\tag{11.7}\label{hoa5}\]

Ví dụ 2. Tính tích phân $\iiint\limits_{V}{z({{x}^{2}}+{{y}^{2}})dxdydz}$ với $V$ được giới hạn bởi các mặt ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1;\text{ }z=0;\text{ }z=2$.

Giải

$V$ là hình trụ tròn xoay $0\le r\le 1;\text{ }0\le z\le 2$, nên việc tính toán sẽ đơn giản nếu chuyển sang tọa độ trụ và áp dụng công thức \eqref{hoa5} Ta có: $$\iiint\limits_{V}{z({{x}^{2}}+{{y}^{2}})dxdydz}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{2}{zdz}\int\limits_{0}^{1}{{{r}^{3}}dr}=\pi $$

Tính tích phân bội 3 trong hệ tọa độ cầu

Hệ tọa độ cầu

Công thức tính

Quan hệ giữa các tọa độ Descartes $x,y,z$ và các tọa độ cầu $r,\theta ,\varphi $ của cùng một điểm $M$: \[ \begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi  \\y=r\sin \theta \sin \varphi  \\z=r\cos \theta  \\\end{cases}\tag{***}\label{hoa6}\]                          Nếu $r>0;\text{ }\varphi \in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0,2\pi );\text{ }\theta \in (0,\pi )$ thì các công thức \eqref{hoa6} xác định một song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ cầu (riêng các điểm trên trục $Oz$ có $\theta =0,$ $\varphi $ tùy ý và nếu $M\equiv O$ thì có $r=0;\text{ }\theta =0$, $\varphi $ tùy ý).

Xem các công thức \eqref{hoa6} như một phép đổi biến, ta có: \[|J|=\left| \dfrac{D(x,y,z)}{D(r,\theta ,\varphi )} \right|={{r}^{2}}\sin \theta >0\] (trừ tại những điểm trên trục $Oz$ )

Ta có công thức tính tích phân bội 3 trong hệ tọa độ cầu như sau: \[\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_{V'}{f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta ){{r}^{2}}\sin \theta drd\theta d\varphi }\tag{11.8}\label{hoa7}\]  

1. Công thức \eqref{hoa4} vẫn đúng trong trường hợp $V$ chứa những điểm thuộc $Oz$.
2. Nếu $V$ là hình cầu tâm $O(0,0,0)$ bán kính $R$ thì ta có công thức: \[\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \theta d\theta }\int\limits_{0}^{R}{f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta ){{r}^{2}}dr}\tag{11.9}\label{hoa8}\]                                                                                                                     

Ví dụ 4. Tính tích phân $\iiint\limits_{V}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}dxdydz}$ với $V$ được giới hạn bởi các mặt ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1;\text{ }z\ge 0$.

Giải

$V$ là nửa hình cầu tâm $O(0,0,0)$ bán kính $R=1$ nằm phía trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (ứng với $z\ge 0)$, nên việc tính toán sẽ đơn giản nếu chuyển sang tọa độ cầu và áp dụng công thức \eqref{hoa8} Ta có:  $$\iiint\limits_{V}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}dxdydz}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{\pi /2}{\sin \theta \text{ }d\theta }\int\limits_{0}^{1}{r{{r}^{2}}dr}=\dfrac{\pi }{2}$$