11.1. Khái niệm tích phân bội 3

Bài toán dẫn đến khái niệm

Tính khối lượng của một vật thể hữu hạn $V$ không đồng chất biết khối lượn riêng của nó tại điểm $M(x,y,z)$ là $\rho =\rho (x,y,z)$ ($\rho (x,y,z)$ liên tục trên $V$)

Chia miền $V$ một cách tùy ý thành $n$ mảnh nhỏ không giẫm lên nhau, gọi tên và cả thể tích của các mảnh ấy là $\Delta {{V}_{1}},\Delta {{V}_{2}},...,\Delta {{V}_{i}},...\Delta {{V}_{n}}$.

Trong mỗi mảnh nhỏ $\Delta {{V}_{i}}\text{  }(i=\overline{1,n})$ ta lấy một điểm $M({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})$ tùy ý.

Nếu $\Delta {{V}_{i}}$ khá nhỏ (đường kính của nó khá ngắn), ta có thể xem khối lượng riêng tại mọi điểm của $\Delta {{V}_{i}}$ là bằng nhau và đều bằng $\rho ({{M}_{i}})$.

Do đó khối lượng của mảnh $\Delta {{V}_{i}}$: $\Delta {{m}_{i}}\approx \rho ({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\Delta {{V}_{i}}$.

Nếu mọi $\Delta {{V}_{i}}$ đều khá nhỏ thì khối lượng của một vật thể $V$ là: $m=\sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta {{m}_{i}}}\approx \sum\limits_{i=1}^{n}{\rho ({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\Delta V}$. 

Phép tính này càng chính xác nếu $n$ càng lớn (các $\Delta {{V}_{i}}$ càng nhỏ, nghĩa là đường kính ${{d}_{i}}$ của $\Delta {{V}_{i}}$ càng nhỏ).

Do đó, khối lượng của một vật thể $V$ bằng giới hạn nếu có của $\sum\limits_{i=1}^{n}{\rho ({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})}\Delta {{V}_{i}}$ khi $n\to \infty $ sao cho đường kính lớn nhất trong các đường kính của các $\Delta {{V}_{i}}$ dần tới 0. Nghĩa là: $m=\underset{\max {{d}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim\limits }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\rho ({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})}\Delta {{V}_{i}}$.

Ngoài bài toán trên, trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học kĩ thuật còn có nhiều bài toán mà kết quả đều đưa đến tìm giới hạn của một tổng có dạng trên. Toán học đã định nghĩa cho khái niệm này là tích phân bội 3.

1. Nếu tồn tại tích phân \eqref{hoa1} ta nói $f(x,y,z)$ khả tích trên $V$.

   Cũng giống như điều kiện khả tích của hàm 2 biến, điều kiện khả tích của hàm $f(x,y,z)$ trên miền $V$ là: $f(x,y,z)$ liên tục trên $V$.

2. Ý nghĩa hình học: Nếu $f(x,y,z)\ge 0$ và liên tục trên $V$ thì $\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dV}={{m}_{V}}$.

   Đặc biệt, nếu $f(x,y,z)=1\text{  }\forall (x,y,z)\in V$ thì $\iiint\limits_{V}{dV}={{V}_{V}}$.

3. Giá trị của tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia $V$ nên ta có thể chia $V$ một cách đặc biệt: Chia bởi lưới các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ. Với cách chia này thì mỗi mảnh $\Delta {{V}_{i}}$ nói chung là một hình hộp chữ nhật, do đó $dV=dxdydz$ (vì $x,y,z$ là các biến độc lập).

   Vậy   $\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dV}=\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}$.

Tích phân bội 3 có những tính chất tương tự như tính chất của tích phân bội 2.

1. $\iiint\limits_{V}{[f(x,y,z)\pm g(x,y,z)]dxdydz}=\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}\pm \iiint\limits_{V}{g(x,y,z)dxdydz}$.
2. $\iiint\limits_{V}{cf(x,y,z)dxdydz}=c\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}\text{  }(c-const)$.
3. Nếu $V={{V}_{1}}\cup {{V}_{2}}$ thì $\iint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=\iint\limits_{{{V}_{1}}}{f(x,y,z)dxdydz}+\iint\limits_{{{V}_{2}}}{f(x,y,z)dxdydz}$.
4. ${{V}_{V}}=\iiint\limits_{V}{dxdydz}$.
5. Nếu $f(x,y,z)\le g(x,y,z)\text{  }\forall (x,y,z)\in V$ thì $\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}\le \iiint\limits_{V}{g(x,y,z)dxdydz}$.
6. Nếu $m$ là giá trị nhỏ nhất, $M$ là giá trị lớn nhất của $f(x,y,z)$ trên $V$ thì ta có: $mV\le \iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}\le MV$.
7. Định lý về giá trị trung bình: Nếu hàm $f(x,y,z)$ liên tục trên miền $V$ thì trên $V$ tồn tại ít nhất một điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})$ sao cho: $f({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})=\dfrac{\iiint\limits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}}{V}$.