Ứng dụng hình học
Tính thể tích vật thể
Thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng $Oxy$, một mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$ và một mặt cong có phương trình $z=f(x,y)$ (với $f(x,y)$ liên tục, không âm và đơn trị trên $D$) là: $$V=\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}.$$
Theo ví dụ 2, mục 10.1 thì $V=\iint\limits_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1}{(2-{{x}^{2}}-{{y}^{2}})dxdy}$
Chuyển sang tọa độ cực, ta có: \[V=\iint\limits_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1}{(2-{{x}^{2}}-{{y}^{2}})dxdy}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{1}{(2-{{r}^{2}})rdr}=\dfrac{3}{2}\pi (đvtt)\]
Tính diện tích hình phẳng
Diện tích của hình phẳng $D$ được cho bởi công thức: $${{S}_{D}}=\iint\limits_{D}{dxdy}$$
Trước hết ta căn cứ vào đồ thị (biểu diễn miền $D$) để xác định đúng miền $D$: \[{{D}_{1}}:\begin{cases}0\le x\le 1 \\{{x}^{2}}\le y\le x \\\end{cases}\cup {{D}_{2}}:\begin{cases}1\le x\le 2 \\x\le y\le {{x}^{2}} \\\end{cases}\]
Để tính diện tích miền $D$ và tính tích phân ta áp dụng công thức (5) và tính chất 3:
Vậy: $${{S}_{D}}=\iint\limits_{D}{dxdy}=\iint\limits_{{{D}_{1}}}{dxdy}+\iint\limits_{{{D}_{2}}}{dxdy}=\int\limits_{0}^{1}{dx}\int\limits_{{{x}^{2}}}^{x}{dy}+\int\limits_{1}^{2}{dx}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{dy}$$ $${{S}_{D}}=\int\limits_{0}^{1}{\left. y \right|_{y={{x}^{2}}}^{y=x}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left. y \right|_{y=x}^{y={{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{(x-{{x}^{2}})dx}+\int\limits_{1}^{2}{({{x}^{2}}-x)dx}=1(đvdt)$$
Tính diện tích mặt cong
Xét mặt cong $S$ (giới hạn bởi một đường kín) có phương trình $z=f(x,y)$ ($f(x,y)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục).
Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $Oxy$.
Ta có công thức tính diện tích của mặt cong $S$: $${{S}_{S}}=\iint\limits_{D}{\sqrt{1+{{(z'{}_{x})}^{2}}+{{(z'{}_{y})}^{2}}}dxdy}$$
Cần xác định miền $D$- hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $Oxy$: ta có $D$ là hình tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1$.
Tiếp theo, ta tính $z'{}_{x};z'{}_{y}$: $z'{}_{x}=2x;\text{ }z'{}_{y}=2y$
Vậy: $${{S}_{S}}=\iint\limits_{D}{\sqrt{1+{{(z'{}_{x})}^{2}}+{{(z'{}_{y})}^{2}}}dxdy}=\iint\limits_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1}{\sqrt{1+4({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}dxdy}$$
Chuyển sang tọa độ cực, ta có:
${{S}_{S}}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1+4{{r}^{2}}}rdr}=2\pi \cdot \dfrac{1}{12}\cdot \left. (1+4{{r}^{2}}) \right|_{0}^{1}=\dfrac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1)$ $(đvtt).$
Ứng dụng cơ học
Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất
Cho một bản phẳng chiếm miền $D$ trong mặt phẳng $Oxy$ và có khối lượng riêng tại điểm $M(x,y)\in D$ là $\rho =\rho (x,y)$ ($\rho (x,y)$ liên tục trên $D$). Khi đó, khối lượng của bản phẳng là: $${{M}_{D}}=\iint\limits_{D}{\rho (x,y)dxdy}$$
Ta có ${{M}_{D}}=\iint\limits_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{R}^{2}}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}dxdy}$
Chuyển sang tọa độ cực, ta có: $${{M}_{D}}=\iint\limits_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{R}^{2}}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}dxdy}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{R}{3{{r}^{2}}dr}=2\pi \cdot \left. {{r}^{3}} \right|_{0}^{R}=2\pi {{R}^{3}}$$
Thảo luận nội dung "Ứng dụng của tích phân bội 2"