10.3. Phương pháp đổi biến trong tính tích phân bội 2

Công thức đổi biến

Ta cần tìm $\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}$.

Thực hiện phép đổi biến: \[\begin{cases}x=x(u,v) \\y=y(u,v) \\\end{cases} \tag{*}\label{hoa1}\]

Giả sử

1. Các hàm $x(u,v);\text{ }y(u,v)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng $D'$ nằm trong mặt phẳng $Ouv$.

2. Các công thức \eqref{hoa1}  xác định 1 song ánh từ $D'$ lên $D$.

3. Định thức \(J=\dfrac{D(x,y)}{D(u,v)}=\left| \begin{matrix}x{{'}_{u}} & x{{'}_{v}}  \\ y{{'}_{u}} & y{{'}_{u}}  \\\end{matrix} \right|\ne 0\), $\forall (u,v)\in D'$.

Khi đó ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội 2: \[\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{D'}{f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv}\tag{10.7}\label{hoa2}\]

Tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực

Hệ tọa độ cực

Công thức tính

Để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ Đề các $(x,y)$ và các tọa độ cực $(r,\varphi )$ của cùng một điểm $M$, ta dựng hệ trục tọa độ Descartes có gốc tại cực, trục hoành trùng trục cực.

Theo định lý về phép chiếu vuông góc ta có \[\begin{cases}x=r\cos \varphi  \\y=r\sin \varphi  \\\end{cases}\tag{**}\label{hoa3}\]

Nếu $r>0;\text{ }\varphi \in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0,2\pi \text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ thì \eqref{hoa3} xác định một song ánh giữa các tọa độ Đề các và các tọa độ cực (riêng điểm $O(0,0)$ có $r=0;\text{ }\varphi $ tùy ý)

Do đó ta có thể xem \eqref{hoa3}  như một phép đổi biến.

Ta có \(J=\dfrac{D(x,y)}{D(r,\varphi )}=\left| \begin{matrix}\cos \varphi  & -r\sin \varphi   \\\sin \varphi  & r\cos \varphi   \\\end{matrix} \right|=r\ne 0\) (trừ điểm $O(0,0)$)

Do đó, ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: \[\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{D'}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rd\varphi dr}\tag{10.8}\label{hoa4}\]

1. Công thức \eqref{hoa4} vẫn đúng trong trường hợp $D$ chứa gốc $O(0,0)$
2. 
   

Nếu $D$ được giới hạn bởi  \( \begin{cases}{{r}_{1}}(\varphi )\le r\le {{r}_{2}}(\varphi ) \\{{\varphi }_{1}}\le\varphi \le {{\varphi }_{2}} \\\end{cases} \)  thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực sau đây: \[\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{d\varphi }\int\limits_{{{r}_{1}}(\varphi )}^{{{r}_{2}}(\varphi )}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr}\tag{10.9}\label{hoa5}\]

Nếu $D$ là hình tròn tâm trùng cực, bán kính $R$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: \[\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{R}{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr}\tag{10.10}\label{hoa6}\]

Nếu $D$ được giới hạn bởi  \(\begin{cases}{{r}_{1}}\le r\le {{r}_{2}} \\{{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \\\end{cases} \) và $f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )={{f}_{1}}(\varphi ).{{f}_{2}}(r)$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực như sau: \[\iint\limits_{D}{f(x,y)dxdy}=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{{{f}_{1}}(\varphi )d\varphi }\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}}{{{f}_{2}}(r)rdr}\tag{10.11}\label{hoa7}\]