Trường vô hướng
Định
nghĩa. Ta nói: Trong miền không gian $V$ có
một trường vô hướng $u$ nếu tại mỗi điểm $M\in V$ có 1 giá trị
xác định của đại lượng vô hướng $u$.
Như vậy: Cho 1 trường vô hướng trong miền $V$ là cho một hàm
vô hướng $u$ xác định trong miền ấy.
Ví dụ1. Sự phân bố nhiệt độ trong
một vật thể tạo nên một trường vô hướng trong vật thể ấy.
Mặt mức (mặt đẳng trị)
Định
nghĩa. Cho trường vô hướng: $u=u(M)=u(x,y,z)$,
$M\in V$.
Khi đó phương trình $u(x,y,z)=C\text{
}(C-\text{const)}$ xác định một mặt được gọi là mặt mức (mặt
đẳng trị) ứng với trị $C$.
Chú ý. Các mặt mức của trường
không giao nhau và toàn bộ miền $V$ bị phủ kín bởi những mặt
mức.
Ví dụ 2. Mặt đẳng thế trong
trường điện thế là mặt mức.
Chẳng hạn: một điện tích $q$ đặt ở gốc tọa độ gây nên một
trường điện thế
$u(x,y,z)=\dfrac{q}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}$.
Do đó phương trình của các mặt mức trong trường điện thế (còn
gọi là mặt đẳng thế) là:
$\dfrac{q}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}=C$ hay
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\dfrac{{{q}^{2}}}{{{C}^{2}}}={{R}^{2}}$.
Mặt đẳng thế trong trường điện thế là những mặt cầu đồng tâm
(tâm $O(0,0,0)$ và bán kính $R=\dfrac{q}{C}$).
Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa. Cho trường vô
hướng: $u=u(M)=u(x,y,z)\text{ }(M\in V)$ và điểm
${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})\in V$.
Qua ${{M}_{0}}$ vẽ một đường thẳng định hướng $\vec{l}$
mà các cosin chỉ hướng của nó là $\cos \alpha ,\text{ }\cos
\beta ,\text{ }\cos \gamma $.
Giả sử: $M({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta
y,{{z}_{0}}+\Delta z)\in V$ là một điểm nằm trên đường thẳng
định hướng trên.
Đặt $\rho =\overline{{{M}_{0}}M}$ ta có:
$\rho =\sqrt{{{(\Delta x)}^{2}}+{{(\Delta y)}^{2}}+{{(\Delta
z)}^{2}}}$ nếu $\vec{l}$ và
$\overrightarrow{{{M}_{o}}M}$ cùng hướng
$\rho =-\sqrt{{{(\Delta x)}^{2}}+{{(\Delta y)}^{2}}+{{(\Delta
z)}^{2}}}$ nếu $\vec{l}$ và
$\overrightarrow{{{M}_{o}}M}$ ngược
hướng.
Nếu khi $\rho \to 0$ ($M$ dần tới ${{M}_{0}}$ theo hướng
$\vec{l}$) mà : $\dfrac{\Delta u}{\rho
}=\dfrac{u(M)-u({{M}_{o}})}{\rho }$ dần tới 1 giới hạn hữu
hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm $u$ theo
hướng $\vec{l}$ tại điểm ${{M}_{0}}$, kí hiệu:
$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}$
Vậy, $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}=\underset{\rho \to
0}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{u({{x}_{0}}+\Delta
x,{{y}_{0}}+\Delta y,{{z}_{0}}+\Delta
z)-u({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})}{\rho }$.
- $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}$ không những phụ
thuộc vào điểm ${{M}_{0}}$ mà còn phụ thuộc vào hướng của
$\vec{l}$.
- Nếu $\vec{l}$ trùng với hướng dương của trục $Ox$, thay vào
công thức trên ta có kết quả: $$\dfrac{\partial u}{\partial
\vec{l}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim\limits
}}\,\dfrac{u({{x}_{0}}+\Delta
x,{{y}_{0}},{{z}_{0}})-u({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})}{\Delta
x}.$$
Vậy, $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ chính là đạo hàm của
hàm $u$ theo hướng của trục $Ox$.
Tương tự, $\dfrac{\partial u}{\partial y}$ chính là đạo hàm
của hàm $u$ theo hướng của trục $Oy$ và $\dfrac{\partial
u}{\partial z}$ chính là đạo hàm của hàm $u$ theo hướng của
trục $Oz$.
- $\dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}$ biểu thị vận
tốc biến thiên của hàm $u$ theo hướng $\vec{l}$.
Định lý. Nếu hàm $u=u(x,y,z)$
khả vi tại $M(x,y,z)$ thì tại điểm đó nó có đạo hàm theo
hướng $\vec{l}$ bất kỳ, và $\dfrac{\partial
u}{\partial \vec{l}}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha
+\dfrac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\dfrac{\partial
u}{\partial z}\cos \gamma $ (với $\cos \alpha ,\text{
}\cos \beta ,\text{ }\cos \gamma $ là các cosin chỉ hướng của
$\vec{l}$).
Công thức đạo hàm của theo hướng $\vec{l}$ tại điểm
${{M}_{0}}$: $$\dfrac{\partial u}{\partial
\vec{l}}({{M}_{0}})=\dfrac{\partial u}{\partial
x}({{M}_{0}})\cos \alpha +\dfrac{\partial u}{\partial
y}({{M}_{0}})\cos \beta +\dfrac{\partial u}{\partial
z}({{M}_{0}})\cos \gamma $$
Ví dụ 3. Cho trường vô hướng
$u=xy+{{z}^{3}}$. Tính đạo hàm của $u$ theo hướng
$\overrightarrow{{{M}_{0}}M}$ tại ${{M}_{0}}(0,1,-1)$
biết $M(2,-1,-2)$.
Gradient
Định nghĩa. Cho trường vô
hướng $u=u(M)=u(x,y,z)$, $M\in V)$.
Gradient của trường $u$ tại điểm $M(x,y,z)$ là vector có tọa
độ: $\left\{\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial
u}{\partial y},\dfrac{\partial u}{\partial z} \right\}$
Kí hiệu vector ấy là $\overrightarrow{grad}u$
Nếu gọi $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt là các
vector đơn vị của các trục $Ox,Oy,Oz$ thì:
$\overrightarrow{grad}u=\dfrac{\partial u}{\partial
x}\vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial
y}\vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z}\vec{k}$
Gradient của trường $u$ tại điểm ${{M}_{0}}$:
$$\overrightarrow{grad}u({{M}_{0}})=\dfrac{\partial
u}{\partial x}({{M}_{0}})\vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial
y}({{M}_{0}})\vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial
z}({{M}_{0}})\vec{k}$$
Ví dụ 4. Cho trường vô hướng
$u=xy+{{z}^{3}}$. Tìm $\overrightarrow{grad}u$.
Định lý 1. Cho trường vô hướng
$u=u(M)=u(x,y,z)\text{ }(M\in V)$ và hướng của $\vec{l}$.
Khi đó ta có: $\dfrac{\partial u}{\partial
\vec{l}}=c{{h}_{{\vec{l}}}}\overrightarrow{grad}u$.
Như vậy, ${{\left| \dfrac{\partial u}{\partial \vec{l}}
\right|}_{\max }}=\left| \overrightarrow{grad}u \right|$ khi
$\vec{l}$ đồng phương với $\overrightarrow{grad}u$ (khi
Gradient tại 1 điểm trong trường vô hướng $u$ cho ta biết
phương mà dọc theo phương ấy vận tốc biến thiên của trường có
trị tuyệt đối cực đại).
Định lý 2. Cho trường vô hướng
$u=u(M)=u(x,y,z)\text{ }(M\in V)$. Gradient của trường
$u$ tại mỗi điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})$
luôn đồng phương với pháp tuyến của mặt mức của trường đi qua
điểm ấy.
- $\overrightarrow{grad}(u\pm v)=\overrightarrow{grad}u\pm
\overrightarrow{grad}v$.
- $\overrightarrow{grad}(cu)=c\overrightarrow{grad}u\text{
}(c-const)$.
-
$\overrightarrow{grad}(uv)=u\overrightarrow{grad}v+v\overrightarrow{grad}u$.
- $\overrightarrow{grad}f(u)=f'(u)\overrightarrow{grad}u$.