Khái niệm hàm ẩn
Nếu với mỗi trị $x={{x}_{0}}$ trong một khoảng nào đó, có 1 hay nhiều trị xác định $y={{y}_{0}}$ sao cho $F({{x}_{0}},{{y}_{0}})=0$ thì ta nói hệ thức \eqref{hoa1} xác định một hay nhiều hàm ẩn $y$ theo $x$ trong khoảng ấy.
Tương tự
Hệ thức liên hệ giữa 3 biến $x,y,z$ có dạng: \[F(x,y,z)=0\tag{8.2}\label{hoa2}\] có thể xác định một hay nhiều hàm ẩn $z$ của 2 biến $x,\text{ }y$.
Hệ phương trình: \[\begin{cases}F(x,y,z,u,v)=0 \\G(x,y,z,u,v)=0 \\\end{cases} \tag{8.3}\label{hoa3}\] có thể xác định một hay nhiều cặp hàm ẩn $u,v$ của 3 biến $x,y,z$.
Hệ thức ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}-3=0$ xác định 1 hàm ẩn (dạng tường minh) trên $\mathbb{R}$ là $y=\sqrt[3]{3-{{x}^{3}}}$.
Hệ thức ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4=0$ xác định 2 hàm ẩn (dạng tường minh) trên $\text{ }\!\![\!\!\text{ }-2,2]$ là $y=\pm \sqrt{4-{{x}^{2}}}$.
Hệ thức ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4=0$ không xác định 1 hàm ẩn nào.
Hệ thức ${{x}^{y}}-{{y}^{x}}=0\text{ }(x>0,y>0)$ không rút được $y$ theo $x$ (không tìm được biểu thức của hàm ẩn dưới dạng tường minh).
Các định lý (về sự tồn tại, liên tục và khả vi của các hàm ẩn)
Nếu $F(x,y)$ có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ và nếu $F{{'}_{y}}({{M}_{0}})\ne 0$ thì hệ thức \eqref{hoa1} xác định một hàm ẩn $y=f(x)$ trong một lân cận nào đó của ${{x}_{0}}$, hàm ấy có trị ${{y}_{0}}$ khi $x={{x}_{0}}$, nó liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận của ${{x}_{0}}$.
Nếu $F(x,y,z)$ có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})$ và nếu $F{{'}_{z}}({{M}_{0}})\ne 0$ thì hệ thức \eqref{hoa2} xác định một hàm ẩn $z=f(x,y)$ trong một lân cận nào đó của điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$, hàm ấy có trị ${{z}_{0}}$ khi $x={{x}_{0}},y={{y}_{0}}$, nó liên tục và có các đạo hàm liên tục trong lân cận của điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.
Nếu các hàm$F(x,y,z,u,v);\text{ }G(x,y,z,u,v)$ có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}},{{u}_{0}},{{v}_{0}})$ và nếu $\dfrac{D(F,G)}{D(u,v)}({{M}_{0}})\ne 0$ thì hệ phương trình \eqref{hoa3} xác định một cặp hàm ẩn $u=f(x,y,z);\text{ }v=g(x,y,z)$ trong một lân cận nào đó của điểm $({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})$, các hàm ấy có trị ${{u}_{0}},\text{ }{{v}_{0}}$ khi $x={{x}_{0}},\text{ }y={{y}_{0}},\text{ }z={{z}_{0}}$; $u=f(x,y,z)$, $v=g(x,y,z)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của $({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})$.
Công thức tính đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử các giả thiết của định lý 1 được thỏa mãn, khi ấy hệ thức \eqref{hoa1} xác định 1 hàm ẩn $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm liên tục trong 1 lân cận nào đó của ${{x}_{0}}$.
Ta có: $F(x,f(x))=0$
Lấy đạo hàm 2 vế đối với $x:$ $F{{'}_{x}}+F{{'}_{y}}\cdot \dfrac{dy}{dx}=0$
Vì $F{{'}_{y}}\ne 0$ nên $F{{'}_{x}}+F{{'}_{y}}\cdot \dfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F{{'}_{x}}}{F{{'}_{y}}}$.
Trước hết ta tìm $F{{'}_{x}};F{{'}_{y}}$: $F{{'}_{x}}=3{{x}^{2}};F{{'}_{y}}=3{{y}^{2}}$.
Sau đó ta thay vào công thức: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F{{'}_{x}}}{F{{'}_{y}}}$ ta có $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}\text{ }(y\ne 0)$.
Giả sử các giả thiết của định lý 2 được thỏa mãn, khi ấy hệ thức \eqref{hoa2} xác định 1 hàm ẩn $z=f(x,y)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 miền nào đó.
Ta có: $F(x,y,f(x,y))=0$
Lấy đạo hàm 2 vế đối với $x$: $F{{'}_{x}}+F{{'}_{z}}\cdot z{{'}_{x}}=0$
Lấy đạo hàm 2 vế đối với $y$: $F{{'}_{y}}+F{{'}_{z}}\cdot z{{'}_{y}}=0$
Vậy, vì $F{{'}_{z}}\ne 0$ nên $z{{'}_{x}}=-\dfrac{F{{'}_{x}}}{F{{'}_{z}}}$, $z{{'}_{y}}=-\dfrac{F{{'}_{y}}}{F{{'}_{z}}}$.
Trước hết ta đặt $F(x,y,z)={{e}^{3}}+xy+{{z}^{3}}-2025=0$
Tiếp theo, tìm $F{{'}_{x}};F{{'}_{y}};F{{'}_{z}}$: $F{{'}_{x}}=y;\text{ }F{{'}_{y}}=x;\text{ }F{{'}_{y}}={{e}^{z}}+3{{z}^{2}}$.
Sau đó ta thay vào các công thức: $z{{'}_{x}}=-\dfrac{F{{'}_{x}}}{F{{'}_{z}}}$, $z{{'}_{y}}=-\dfrac{F{{'}_{y}}}{F{{'}_{z}}}$
Ta có: $z{{'}_{x}}=-\dfrac{y}{{{e}^{z}}+3{{z}^{2}}}$, $z{{'}_{y}}=-\dfrac{x}{{{e}^{z}}+3{{z}^{2}}}$.
Thảo luận nội dung "Đạo hàm của hàm ẩn"