Xét hàm $z=f(x,y)$ xác định trên miền $D$, các điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}});\text{ }M({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)$ thuộc $D$.
Nếu số gia toàn phần $\Delta z:=f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ có thể biểu diễn được dưới dạng $\Delta z:=A\Delta x+B\Delta y+\alpha (\Delta x)+\beta (\Delta y)$ (trong đó $\alpha (\Delta x)$ là VCB cấp cao hơn $\Delta x$ trong quá trình $\Delta x\to 0$ và $\beta (\Delta y)$ là VCB cấp cao hơn $\Delta y$ trong quá trình $\Delta y\to 0$) thì ta nói $z$ khả vi tại ${{M}_{0}}$ và $A\Delta x+B\Delta y$ được gọi là vi phân toàn phần của hàm $z$ tại ${{M}_{0}}$, kí hiệu $dz$.
Các định lý
Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có), theo ví dụ 1 mục 8.1 thì $z{{'}_{x}}=2x{{e}^{y}};\text{ }z{{'}_{y}}={{x}^{2}}{{e}^{y}}+3{{y}^{2}}$.
Nhận xét: các đạo hàm riêng liên tục tại $\forall (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}$, nên $z$ khả vi trên ${{\mathbb{R}}^{2}}$
Vậy, $dz=z{{'}_{x}}dx+z{{'}_{y}}dy=2x{{e}^{y}}dx+({{x}^{2}}{{e}^{y}}+3{{y}^{2}})dy$.
Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có):
$z{{'}_{x}}=\dfrac{\text{4}{{\text{x}}^{\text{3}}}}{5\sqrt[\text{5}]{{{\text{(}{{\text{x}}^{\text{4}}}+{{\text{y}}^{\text{4}}}\text{)}}^{\text{4}}}}};z{{'}_{y}}=\dfrac{\text{4}{{\text{y}}^{\text{3}}}}{5\sqrt[\text{5}]{{{\text{(}{{\text{x}}^{\text{4}}}+{{\text{y}}^{\text{4}}}\text{)}}^{\text{4}}}}}$
Nhận xét: các đạo hàm riêng liên tục tại $\forall (x,y)\ne (0,0)$, vậy tại những điểm ấy hàm $z$ khả vi và $dz=\dfrac{\text{4}{{\text{x}}^{\text{3}}}}{5\sqrt[\text{5}]{{{\text{(}{{\text{x}}^{\text{4}}}+{{\text{y}}^{\text{4}}}\text{)}}^{\text{4}}}}}dx+\dfrac{\text{4}{{\text{y}}^{\text{3}}}}{5\sqrt[\text{5}]{{{\text{(}{{\text{x}}^{\text{4}}}+{{\text{y}}^{\text{4}}}\text{)}}^{\text{4}}}}}dy$.
Tại điểm $(0,0)$ hàm $z$ không khả vi (vì các đạo hàm riêng của nó không tồn tại: $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{\sqrt[5]{{{(\Delta x)}^{4}}}}{\Delta x}=\infty $, cũng vậy $\dfrac{\partial \text{z}}{\partial \text{y}}=\infty $).
Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có)
Theo ví dụ 2 mục 8.1: $u{{'}_{x}}=2x{{y}^{3}}{{z}^{4}};\text{ }u{{'}_{y}}=3{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{4}};\text{ }u{{'}_{z}}=4{{x}^{2}}{{y}^{3}}{{z}^{3}}$.
Nhận xét: các đạo hàm riêng của hàm $u$ liên tục tại $\forall (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}$, nên hàm $u$ khả vi trên ${{\mathbb{R}}^{3}}$.
Vậy, $du=u{{'}_{x}}dx+u{{'}_{y}}dy+u{{'}_{z}}dz=2x{{y}^{3}}{{z}^{4}}dx+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{4}}dy+4{{x}^{2}}{{y}^{3}}{{z}^{3}}dz$.