8.2. Vi phân toàn phần của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa.

Xét hàm z=f(x,y) xác định trên miền D, các điểm M0(x0,y0); M(x0+Δx,y0+Δy) thuộc D.

Nếu số gia toàn phần Δz:=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0) có thể biểu diễn được dưới dạng Δz:=AΔx+BΔy+α(Δx)+β(Δy) (trong đó α(Δx) là VCB cấp cao hơn Δx trong quá trình Δx0β(Δy) là VCB cấp cao hơn Δy trong quá trình Δy0) thì ta nói z khả vi tại M0AΔx+BΔy được gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại M0, kí hiệu dz.

Chú ý 1
  1. Nếu hàm z khả vi tại mọi điểm của D thì nó khả vi trên D.
  2. dz là phần chính của Δz.
  3. Nếu hàm z khả vi tại M0 thì nó liên tục tại điểm ấy.

Các định lý

Định lý 1. Nếu hàm z=f(x,y) khả vi tại M0(x0,y0) thì tại điểm ấy tồn tại các đạo hàm riêng zx, zy và  dz=zxΔx+ zyΔy.
Định lý 2. Nếu hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận của M0(x0,y0) và các các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0(x0,y0) thì f(x,y) khả vi tại M0(x0,y0)dz=zxΔx+ zyΔy.
Chú ý 2
  1. Theo định lý 2 thì công thức tìm vi phân toàn phần của hàm z tại M0dz=zxΔx+ zyΔy. Vì xy là các biến độc lập nên Δx=dx;Δy=dy. Do đó dz=zxdx+ zydy.
  2. dxz=zxdx được gọi là vi phân riêng của hàm z đối với x tại M0, và dyz=zydy được gọi là vi phân riêng của hàm z đối với y tại M0.
  3. Với các hàm n biến (n3) các khái niệm vi phân riêng, vi phân toàn phần cũng được định nghĩa tương tự, ta cũng có những kết quả tương tự.
Ví dụ 1. Tìm vi phân toàn phần của hàm số z=x2ey+y3
Giải

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có), theo ví dụ 1 mục 8.1 thì zx=2xey; zy=x2ey+3y2.

Nhận xét: các đạo hàm riêng liên tục tại (x,y)R2, nên z khả vi trên R2

Vậy, dz=zxdx+zydy=2xeydx+(x2ey+3y2)dy.

Ví dụ 2. Tìm vi phân toàn phần của hàm số z=x4+y45.
Giải

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có):

  zx=4x35(x4+y4)45;zy=4y35(x4+y4)45

Nhận xét: các đạo hàm riêng liên tục tại (x,y)(0,0), vậy tại những điểm ấy hàm z khả vi và dz=4x35(x4+y4)45dx+4y35(x4+y4)45dy.

Tại điểm (0,0) hàm z không khả vi (vì các đạo hàm riêng của nó không tồn tại: zx=limΔx0f(0+Δx,0)f(0,0)Δx=limΔx0(Δx)45Δx=, cũng vậy zy=).

Ví dụ 3. Tìm vi phân toàn phần của hàm số u=x2y3z4+2025.
Giải

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có)

Theo ví dụ 2 mục 8.1: ux=2xy3z4; uy=3x2y2z4; uz=4x2y3z3.

Nhận xét: các đạo hàm riêng của hàm u liên tục tại (x,y,z)R3, nên hàm u khả vi trên R3.

Vậy, du=uxdx+uydy+uzdz=2xy3z4dx+3x2y2z4dy+4x2y3z3dz.

     

1161.8.2

by Site Owner -
Number of replies: 0

Thảo luận nội dung "Vi phân toàn phần của hàm số nhiều biến số"

Last modified: Thursday, 5 September 2024, 9:58 AM