ĐL152: 8.2. Vi phân toàn phần của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa.

Xét hàm $z = f (x, y)$ xác định trên miền $D$ , các điểm $M_{0} (x_{0}, y_{0}); M (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y)$ thuộc $D$ .

Nếu số gia toàn phần $Δ z := f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})$ có thể biểu diễn được dưới dạng $Δ z := A Δ x + B Δ y + α (Δ x) + β (Δ y)$ (trong đó $α (Δ x)$ là VCB cấp cao hơn $Δ x$ trong quá trình $Δ x \to 0$ và $β (Δ y)$ là VCB cấp cao hơn $Δ y$ trong quá trình $Δ y \to 0$ ) thì ta nói $z$ khả vi tại $M_{0}$ và $A Δ x + B Δ y$ được gọi là vi phân toàn phần của hàm $z$ tại $M_{0}$ , kí hiệu $d z$ .

Chú ý 1

Nếu hàm $z$ khả vi tại mọi điểm của $D$ thì nó khả vi trên $D$ .
$d z$ là phần chính của $Δ z$ .
Nếu hàm $z$ khả vi tại $M_{0}$ thì nó liên tục tại điểm ấy.

Các định lý

Định lý 1. Nếu hàm

z = f (x, y)

khả vi tại

M_{0} (x_{0}, y_{0})

thì tại điểm ấy tồn tại các đạo hàm riêng

z {^{'}}_{x}, z {^{'}}_{y}

và

d z = z {^{'}}_{x} Δ x + z {^{'}}_{y} Δ y

Định lý 2. Nếu hàm

z = f (x, y)

có các đạo hàm riêng ở lân cận của

M_{0} (x_{0}, y_{0})

và các các đạo hàm riêng ấy liên tục tại

M_{0} (x_{0}, y_{0})

thì

f (x, y)

khả vi tại

M_{0} (x_{0}, y_{0})

và

d z = z {^{'}}_{x} Δ x + z {^{'}}_{y} Δ y

Chú ý 2

Theo định lý 2 thì công thức tìm vi phân toàn phần của hàm $z$ tại $M_{0}$ là $d z = z {^{'}}_{x} Δ x + z {^{'}}_{y} Δ y$ . Vì $x$ và $y$ là các biến độc lập nên $Δ x = d x; Δ y = d y$ . Do đó $d z = z {^{'}}_{x} d x + z {^{'}}_{y} d y$ .
$d_{x} z = z {^{'}}_{x} d x$ được gọi là vi phân riêng của hàm $z$ đối với $x$ tại $M_{0}$ , và $d_{y} z = z {^{'}}_{y} d y$ được gọi là vi phân riêng của hàm $z$ đối với $y$ tại $M_{0}$ .
Với các hàm $n$ biến ( $n \geq 3)$ các khái niệm vi phân riêng, vi phân toàn phần cũng được định nghĩa tương tự, ta cũng có những kết quả tương tự.

Ví dụ 1. Tìm vi phân toàn phần của hàm số

z = x^{2} e^{y} + y^{3}

Giải

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có), theo ví dụ 1 mục 8.1 thì $z {^{'}}_{x} = 2 x e^{y}; z {^{'}}_{y} = x^{2} e^{y} + 3 y^{2}$ .

Nhận xét: các đạo hàm riêng liên tục tại $\forall (x, y) \in R^{2}$ , nên $z$ khả vi trên $R^{2}$

Vậy, $d z = z {^{'}}_{x} d x + z {^{'}}_{y} d y = 2 x e^{y} d x + (x^{2} e^{y} + 3 y^{2}) d y$ .

Ví dụ 2. Tìm vi phân toàn phần của hàm số

z = \sqrt[5]{x^{4} + y^{4}}

Giải

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có):

$z {^{'}}_{x} = \frac{4 x^{3}}{5 \sqrt[5]{{(x^{4} + y^{4})}^{4}}}; z {^{'}}_{y} = \frac{4 y^{3}}{5 \sqrt[5]{{(x^{4} + y^{4})}^{4}}}$

Nhận xét: các đạo hàm riêng liên tục tại $\forall (x, y) \neq (0, 0)$ , vậy tại những điểm ấy hàm $z$ khả vi và $d z = \frac{4 x^{3}}{5 \sqrt[5]{{(x^{4} + y^{4})}^{4}}} d x + \frac{4 y^{3}}{5 \sqrt[5]{{(x^{4} + y^{4})}^{4}}} d y$ .

Tại điểm $(0, 0)$ hàm $z$ không khả vi (vì các đạo hàm riêng của nó không tồn tại: $\frac{\partial z}{\partial x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (0 + Δ x, 0) - f (0, 0)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sqrt[5]{{(Δ x)}^{4}}}{Δ x} = \infty$ , cũng vậy $\frac{\partial z}{\partial y} = \infty$ ).

Ví dụ 3. Tìm vi phân toàn phần của hàm số

u = x^{2} y^{3} z^{4} + 2025

Giải

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng (nếu có)

Theo ví dụ 2 mục 8.1: $u {^{'}}_{x} = 2 x y^{3} z^{4}; u {^{'}}_{y} = 3 x^{2} y^{2} z^{4}; u {^{'}}_{z} = 4 x^{2} y^{3} z^{3}$ .

Nhận xét: các đạo hàm riêng của hàm $u$ liên tục tại $\forall (x, y, z) \in R^{3}$ , nên hàm $u$ khả vi trên $R^{3}$ .

Vậy, $d u = u {^{'}}_{x} d x + u {^{'}}_{y} d y + u {^{'}}_{z} d z = 2 x y^{3} z^{4} d x + 3 x^{2} y^{2} z^{4} d y + 4 x^{2} y^{3} z^{3} d z$ .

Link to discussion

Thảo luận nội dung "Vi phân toàn phần của hàm số nhiều biến số"

Last modified: Thursday, 5 September 2024, 9:58 AM