Thảo luận nội dung "Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số"
Hướng dẫn: Khi tìm đạo hàm riêng của hàm $z$ đối với $x$ thì ta xem $y$ là hằng số và ngược lại.
Ta có: $z{{'}_{x}}=2x{{e}^{y}};\text{ }z{{'}_{y}}={{x}^{2}}{{e}^{y}}+3{{y}^{2}}$.
Cho $x$ biến thiên và giữ $y={{y}_{0}}$, ta được hàm một biến: $x\mapsto f(x,{{y}_{0}})$, nếu hàm số này có đạo hàm tại $x={{x}_{0}}$ thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của $z$ đối với biến $x$ tại $({{x}_{0}},{{y}_{0}}).$
Kí hiệu $z{{'}_{x}}$ hay $f{{'}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ hay $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ hay $\dfrac{\partial f({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\partial x}$.
Nếu ${{\Delta }_{x}}z:=f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}})-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ thì $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{\Delta }_{x}}z}{\Delta x}$
Tương tự: Ta có định nghĩa đạo hàm riêng của $z$ đối với biến $y$ tại $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.
Kí hiệu $z{{'}_{y}}$ hay $f{{'}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ hay $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ hay $\dfrac{\partial f({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\partial y}$.
Nếu ${{\Delta }_{y}}z:=f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ thì $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\underset{\Delta y\to 0}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{\Delta }_{y}}z}{\Delta y}$.
Hướng dẫn: Khi tìm đạo hàm riêng của hàm $z$ đối với $x$ thì ta xem $y$ là hằng số và ngược lại.
Ta có: $z{{'}_{x}}=2x{{e}^{y}};\text{ }z{{'}_{y}}={{x}^{2}}{{e}^{y}}+3{{y}^{2}}$.
Hướng dẫn: Khi tìm đạo hàm riêng của hàm $u$ đối với $x$ thì ta xem 2 biến còn lại ($y$ và $z$) là các hằng số và tương tự khi tìm đạo hàm riêng của hàm $u$ đối với $y$ và $z$.
Ta có: $u{{'}_{x}}=2x{{y}^{3}}{{z}^{4}};\text{ }u{{'}_{y}}=3{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{4}};\text{ }u{{'}_{z}}=4{{x}^{2}}{{y}^{3}}{{z}^{3}}$.
Thảo luận nội dung "Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số"