ĐL152: 7.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số

Giới hạn của hàm 2 biến

Định nghĩa 1. Ta nói dãy điểm $\left\{ {{M}_{n}}({{x}_{n}},{{y}_{n}}) \right\}$ dần tới điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nếu $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}},\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\,{{y}_{n}}={{y}_{0}}$.

Định nghĩa 2. Giả sử hàm số $z=f(x,y)$ xác định trong một lân cận $V$ nào đó của điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ (không cần xác định tại ${{M}_{0}}$). Ta nói hàm $z=f(x,y)$ có giới hạn $L$ khi điểm $M(x,y)$ dần tới ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nếu: với mọi dãy điểm $\left\{ {{M}_{n}}({{x}_{n}},{{y}_{n}}) \right\}$ trong $V$ ($\ne {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$) dần tới điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ ta đều có: $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{n}})=L$.

Khi đó ta viết: $\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)=L$.

Chú ý

Ta có thể phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm 2 biến như sau:

Hàm $f(x,y)=f(M)$ có giới hạn $L$ khi điểm $M(x,y)$ dần tới ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nếu: $\forall \varepsilon >0,\text{ }\exists \delta >0$:$0<{{M}_{0}}M<\delta \Rightarrow |f(\text{x},y)-L|<\varepsilon $. Khi đó ta viết: $\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)=L$.
Tương tự như hàm một biến, ta cũng có thể định nghĩa các giới hạn:

$\underset{(x,y)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim\limits}}\,f(x,y)=L$, $\underset{(x,y)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)=\infty $, $\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)=\infty $.

Ví dụ 1. $\underset{(x,y)\to (1,1)}{\mathop{\lim\limits }}\,({{x}^{2}}-2y)=-1,\text{ }\underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{1}{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}=\infty ,\text{ }\underset{(x,y)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{1}{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}=0$.

Ví dụ 2. Tìm giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ tại $(0,0)$.

Giải

Hướng dẫn. Chứng minh hàm số đã cho dần tới 2 giới hạn khác nhau theo 2 phương khác nhau:

Nhận xét, $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ xác định $\forall (x,y)\ne (0,0)$

Cách trình bày 1.

Cho $x=0$ ta có $f(0,y)=-5,\text{ }\forall y\ne 0$. Vậy $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\to -5$ dọc theo trục $Oy$.

Cho $y=0$ ta có $f(x,0)=\dfrac{1}{3},\text{ }\forall x\ne 0$. Vậy $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\to \dfrac{1}{3}$ dọc theo trục $Ox$.

Hàm số đã cho dần tới 2 giới hạn khác nhau theo 2 phương khác nhau.

Vậy, không tồn tại giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ tại $(0,0)$.

Cách trình bày 2.

Chọn dãy ${{M}_{1}}\left( \dfrac{1}{k},\dfrac{1}{k} \right)\to (0,0)$ khi $k\to +\infty $

Xét giới hạn: $\underset{{{M}_{1}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{1}})=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}-5{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}{3{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{-4{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}{4{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}=-1$

Chọn dãy ${{M}_{2}}\left( \dfrac{1}{k},\dfrac{2}{k} \right)\to (0,0)$ khi $k\to +\infty $

Xét giới hạn: $\underset{{{M}_{2}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{2}})=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}-5{{\left( \dfrac{2}{k} \right)}^{2}}}{3{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{k} \right)}^{2}}}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{-19{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}{7{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}=-\dfrac{19}{7}$

Ta thấy: $\underset{{{M}_{1}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{1}})=-1\ne \underset{{{M}_{2}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{2}})=-\dfrac{19}{7}$

Vậy, không tồn tại giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ tại $(0,0)$.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ tại $(0,0)$.

Giải

Nhận xét, $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ xác định $\forall (x,y)\ne (0,0)$

$0\le \left| f(x,y) \right|=\left| \dfrac{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \dfrac{{{\left| x \right|}^{3}}+{{\left| y \right|}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

$\dfrac{{{\left| x \right|}^{3}}+{{\left| y \right|}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{(\left| x \right|+\left| y \right|)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left| xy \right|)}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \dfrac{(\left| x \right|+\left| y \right|)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| x \right|+\left| y \right|\xrightarrow{(x,y)\to (0,0)}0$

Vậy, $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=0$. (theo nguyên lý kẹp)

Ví dụ 4. Tìm giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ tại $(0,0)$.

Giải

Nhận xét, $f(x,y)=\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ xác định tại $\forall (x,y)\ne (0,0)$

$0\le \left| {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right|=\left| (x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy) \right|\le \left| x+y \right|({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\left| xy \right|)$

$\le \left| x+y \right|\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{1}{2}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\text{ }\!\!]\!\!\text{ =}\dfrac{3}{2}\left| x+y \right|({{x}^{2}}+{{y}^{2}})$

$0\le \left| f(x,y) \right|=\dfrac{\left| {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right|}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \dfrac{3}{2}\left| x+y \right|\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{3}{2}\left| x+y \right|\xrightarrow{(x,y)\to (0,0)}0$

Vậy, $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=0$ (theo nguyên lý kẹp)

Ví dụ 5. Tìm giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$ tại $(0,0)$.

Giải

Nhận xét, $f(x,y)=\dfrac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$ xác định tại $\forall (x,y)\ne (0,0)$

Chọn dãy ${{M}_{1}}\left( \dfrac{1}{k},\dfrac{1}{k} \right)\to (0,0)$ khi $k\to +\infty $

Xét giới hạn:

$\underset{{{M}_{1}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{1}})=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{\dfrac{1}{k}{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}{{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{4}}}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{\dfrac{1}{k}{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}{{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}\left( 1+{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}} \right)}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{\dfrac{1}{k}}{1+{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}=0$

Chọn dãy ${{M}_{2}}\left( \dfrac{1}{{{k}^{2}}},\dfrac{1}{k} \right)\to (0,0)$ khi $k\to +\infty $

Xét giới hạn:

$\underset{{{M}_{2}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{2}})=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{2}}}{{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{4}}+{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{4}}}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim\limits }}\,\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{4}}}{2{{\left( \dfrac{1}{k} \right)}^{4}}}=\dfrac{1}{2}$

Ta thấy: $\underset{{{M}_{1}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{1}})=0\ne \underset{{{M}_{2}}\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f({{M}_{2}})=\dfrac{1}{2}$

Vậy, không tồn tại giới hạn của hàm số $f(x,y)=\dfrac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$ tại $(0,0)$.

Tính liên tục của hàm 2 biến

Định nghĩa. Hàm số $z=f(x,y)=f(M)$ xác định trên $D$ được gọi là liên tục tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\in D$ nếu: $\exists \underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)=f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.

Chú ý

$\Delta x:=x-{{x}_{0}};\Delta y:=y-{{y}_{0}};\Delta z:=f(x,y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})=f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$

Hàm $z=f(x,y)$ được gọi là liên tục tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nếu nó xác định tại đó và $\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,\Delta z=0$.
Hàm $z=f(x,y)$ được gọi là liên tục trên $D$ nếu nó liên tục tại mọi điểm $M\in D$.
Hàm $z=f(x,y)$ được gọi là gián đoạn tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nếu nó không liên tục tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.

Như vậy, hàm $z=f(x,y)$ gián đoạn tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp:

+ Hàm $z=f(x,y)$ không xác định tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.

+ Hàm $z=f(x,y)$ xác định tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nhưng không tồn tại giới hạn của $f(x,y)$ khi $M(x,y)\to {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.

+ Hàm $z=f(x,y)$ xác định tại ${{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$, tồn tại giới hạn của khi $M(x,y)\to {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ nhưng $\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)\ne f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$.

Ví dụ 6. Hàm số $f(x,y)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ gián đoạn tại $(0,0)$ (vì $f(x,y)$ không xác định tại $(0,0)$).

Ví dụ 7. Hàm số \[f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{{{x}^{2}}-5{{y}^{2}}}{3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} & nếu & (x,y)\ne (0,0) \\0 & nếu &(x,y)=(0,0) \\\end{cases}\] gián đoạn tại $(0,0)$

(vì theo kết quả của ví dụ 2 thì không tồn tại $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)$)

Ví dụ 8. Xét tính liên tục của hàm \[f(x,y)= \begin{cases}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\sin \dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} & nếu & (x,y)\ne (0,0) \\a & nếu & (x,y)=(0,0) \\\end{cases} \]

Giải

Dễ thấy $f(x,y)$ liên tục tại mọi $(x,y)\ne (0,0)$

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn (nguyên lý kẹp) để tìm giới hạn của $f(x,y)$ khi $(x,y)\to (0,0)$:

$\forall (x,y)\ne (0,0)$ ta có $0\le |f(x,y)|\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\xrightarrow{(x,y)\to (0,0)}0$

$\Rightarrow \underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim\limits }}\,f(x,y)=0$

$f(x,y)$ liên tục tại $(0,0)$ khi $f(0,0)=a=0$ và $f(x,y)$ gián đoạn tại $(0,0)$ khi $f(0,0)=a\ne 0$.

Vậy, $f(x,y)$ liên tục trên ${{\mathbb{R}}^{2}}$ nếu $a=0$ và $f(x,y)$ liên tục trên ${{\mathbb{R}}^{2}}\backslash \left\{ (0,0) \right\}$ nếu $a\ne 0$.

Chú ý: Với các hàm $n$ biến ($n\ge 3)$ cũng có thể định nghĩa khái niệm giới hạn và liên tục tương tự như các hàm 2 biến. Các hàm $n$ biến liên tục cũng có những tính chất tương tự như các hàm 1 biến liên tục.

Link to discussion

Thảo luận nội dung "Giới hạn và liên tục của hàm số nhiều biến số"

Last modified: Thursday, 5 September 2024, 9:57 AM