Chuỗi Fourier

Chú ý: Các hàm $$g(u)=f(x+2u){\displaystyle \frac{\sin [(2n+1)u]}{\sin u}}\text{và}h(u)={\displaystyle \frac{\sin [(2n+1)u]}{\sin u}}$$ không xác định tại $0$. Tuy vậy, dễ thấy giới hạn của chúng khi $u$ tiến về $0$ tồn tại, hữu hạn. Vì vậy, các tích phân ở $\text{(7)}$ và $\text{(8)}$ không phải là tích phân suy rộng. Mặt khác, các hàm này đều tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. Vì vậy các tích phân ở $\text{(7)}$ và $\text{(8)}$ có thể lấy trên đoạn $[a;a+\pi ]$ tùy ý mà các đẳng thức vẫn đúng. Nghĩa là ta có thể tính các hệ số Fourier bằng cách lấy tích phân hàm $f$ trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$. Khi đó $$\begin{array}{rl}{a}_n& ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx,n=0,1,2,\dots \\ b_n& ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx,n=1,2,\dots \end{array}$$