Giả sử \(f\) là một hàm khả tích trên đoạn \([0;2\pi]\) và
tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi.\) Lúc đó, ta có thể thiết lập được
các dãy số \begin{equation}\label{for3}\tag{3}
a_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{0 }^{2\pi}f(x)\cos(nx)dx,\quad
n=0,1,2,\ldots, \end{equation}
\begin{equation}\label{for4}\tag{4}
b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)dx,\quad
n=0,1,2,\ldots, \end{equation} và chuỗi lượng giác
\begin{equation}\label{for5}\tag{5}
\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Big(a_n\cos
(nx)+b_n\sin (nx)\Big). \end{equation} Chuỗi này được gọi là
chuỗi Fourier của hàm \(f\)
và các hệ số \(a_n,b_n\) được gọi là các
hệ số Fourier. Tổng riêng của
chuỗi này là \begin{equation}\label{for6}\tag{6}
S_n(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\Big(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\Big).
\end{equation}
Câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là khi nào thì chuỗi Fourier của
hàm \(f\) hội tụ và hơn nữa, khi nào thì hàm tổng của chuỗi đó
trùng với \(f\).
Bổ đề 6.2: Nếu \(f:\mathbb
R\to\mathbb R\) tuần hoàn chu kì \(2\pi\), liên tục từng khúc
trên mỗi đoạn bị chặn, \(S_n\) là tổng riêng thứ \(n\) của
chuỗi Fourier của nó, thì \begin{equation}\label{for7}\tag{7}
S_n(x)=\dfrac{1}{\pi}
\int\limits_{0}^{\pi}f(x+2u)\dfrac{\sin((2n+1)u)}{\sin(u)}du,
\end{equation} \begin{equation}\label{for8}\tag{8}
S_n(x)-f(x)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}[f(x+2u)-f(x)]\dfrac{\sin((2n+1)u)}{\sin(u)}du.
\end{equation}
Chú ý: Các hàm \[g(u)=f(x+2u)
\dfrac{\sin\big[(2n+1)u\big]}{\sin u}\quad\text{và}\quad
h(u)=\dfrac{\sin\big[(2n+1)u\big]}{\sin u}\] không xác định tại
\(0\). Tuy vậy, dễ thấy giới hạn của chúng khi \(u\) tiến về
\(0\) tồn tại, hữu hạn. Vì vậy, các tích phân ở \eqref{for7} và
\eqref{for8} không phải là tích phân suy rộng. Mặt khác, các
hàm này đều tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. Vì vậy các tích phân ở
\eqref{for7} và \eqref{for8} có thể lấy trên đoạn \([a;a+\pi]\)
tùy ý mà các đẳng thức vẫn đúng. Nghĩa là ta có thể tính các hệ
số Fourier bằng cách lấy tích phân hàm \(f\) trên đoạn
\([-\pi;\pi]\). Khi đó \begin{align*}
a_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos (nx)dx,\quad
n=0,1,2,\ldots\\
b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin (nx)dx,\quad
n=1,2,\ldots \end{align*}
Bổ đề 6.3: Với \(f\) khả tích thì
\(a_n\to 0\) và \(b_n\to 0\) khi \(k\to\infty.\)