Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm với các hàm thành phần có
dạng \[f_n(x)=a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx).\] Nói cách khác,
chuỗi lượng giác được biểu
diễn bởi \begin{equation}\label{four}\tag{*}
\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos
(nx)+b_n\sin (nx)\right).\end{equation} Định lý sau đây cung cấp
một vài điều kiện hội tụ của chuỗi lượng giác
Định lí 6.1:
- Nếu các chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) và
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\) hội tụ tuyệt đối thì chuỗi
\eqref{four} hội tụ tuyệt đối và đều trên mọi đoạn.
- Nếu các dãy số \((a_n)_n\) và \((a_n)_n\) đơn điệu giảm
và dần về không thì chuỗi \eqref{four} hội tụ tại mọi điểm
\(x_0\neq 2k\pi.\)
Định lí 6.2: Giả sử chuỗi
\eqref{four} hội tụ đều trên đoạn \([0;2\pi]\). Lúc đó, hàm
tổng \(f(x)\) của nó liên tục trên \([0;2\pi].\) Hơn nữa, ta có
\begin{equation}\label{fo1}\tag{1}
a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos (nx)dx,\quad
n=0,1,2,\ldots \end{equation}
\begin{equation}\label{fo2}\tag{2}
b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin (nx)dx,\quad
n=0,1,2,\ldots \end{equation}
Để chứng minh Định lý này ta cần Bổ đề sau, mà có thể kiểm
chứng dễ dàng bằng cách lấy tích phân trực tiếp:
Bổ đề 6.1: Với mọi số tự nhiên
$k,n$ ta có \begin{align*} &\int\limits_{0}^{2\pi}\sin
(kx)\cos(nx)=0;\\
&\int\limits_{0}^{2\pi}\cos(kx)\sin(nx)dx=\begin{cases}
0,&\text{nếu }k\ne n\\ \pi,&\text{nếu }k=n. \end{cases}
\end{align*}
Chứng minh Định lí 6.1
Với mỗi \(n\in \mathbb{N}\), chuỗi hàm sau \[\dfrac{a_0}{2}\cos
(nx)+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\Big(a_k\cos
(kx)\cos(nx)+b_k\sin (kx)\cos(nx)\Big)\] hội tụ đều trên
\([0;2\pi]\) về hàm \(f(x)\cos(nx)\). Áp dụng công thức tích
phân từng phần và Bổ đề đã nêu trên ta có
\[\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)dx=\pi a_n,\quad
n\in\mathbb{N}.\] Hoàn toàn tương tự ta cũng nhận được
\[\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)dx=\pi b_n,\quad
n\in{\mathbb{N}}^{*}.\] Từ đó suy ra công thức tính
\eqref{fo1}, \eqref{fo2}.