Nếu \(a_n=1\) với mọi \(n\), chuỗi lũy thừa trở thành \[\sum\limits_{n=0}^{\infty }x^n=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots\]
Chuỗi hội tụ khi \(-1<x<1\) và phân kỳ khi \(\left| x \right|\ge 1\). Điều này chúng ta sẽ chứng minh ở phần sau.
Tổng quát hơn, một chuỗi có dạng \[\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_n\left( x-a \right)^n={{a}_{0}}+{{a}_{1}}\left( x-a \right)+{{a}_{2}}{{\left( x-a \right)}^{2}}+\cdots \] được gọi là chuỗi lũy thừa của \((x-a)\) hoặc chuỗi lũy thừa tâm \(a\).
Lưu ý rằng thuật ngữ tương ứng trong hai ví dụ trên ta chấp nhận khi \(n=0, {(x-a)}^0=1\) xảy ra tại \(x=a\).
Để không mất tính tổng quát, ta đặt \(X:=x-a\). Các kết quả sau phát biểu cho chuỗi lũy thừa dạng \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n.\)
Với \(a_n\) là số hạng thứ \(n\) của chuỗi, khi đó \(a_n=n!x^n\). Nếu \(x\ne 0\), ta có \[\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{(n+1)!\,x^{n+1}}{n!\,x^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1){| x|}=+\infty.\]
Vậy theo tiêu chuẩn D'Alembert thì chuỗi phân kỳ. Do đó, chuỗi đã cho chỉ hội tụ tại \(x=0\).
Ta có \(a_n=\dfrac{(x-3)^n}{n}\). \[\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\dfrac{(x-3)^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{(x-3)^n}\right|=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\left| x-3 \right|\to \left| x-3 \right| \text{ khi } n\to+\infty. \] Theo tiêu chuẩn D'Alembert chuỗi hội tụ khi \(| x-3|<1\) và phân kỳ khi \(| x-3|>1\). Do đó, | x-3|<1\Leftrightarrow -1 < x-3 < 1\Leftrightarrow 2< x<4.\] Tuy nhiên, ta phải xét thêm tại điểm \(| x-3|=1\text{ suy ra } x=2 \text{ và } x=4.\)
Với \(x=2\) chuỗi lũy thừa trở thành \(\sum\dfrac{(-1)^n}{n}\) hội tụ vì thỏa mãn tiêu chuẩn Leibnitz. Với \(x=4\) chuỗi lũy thừa trở thành \(\sum\dfrac{1}{n}\) là chuỗi điều hòa nên phân kỳ. Vậy với \(-2\leq x<4\) chuỗi hội tụ.
Như vậy, nếu cho chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{\left( x-a \right)}^{n}}}\), có ba trường hợp sau có thể xảy ra:
Số \(R\) xác định trong (iii) gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi trong trường hợp (i) là \(R=0\) và trong trường hợp (iii) là \(R=+\infty\).
Tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) mà chuỗi lũy thừa hội tụ gọi là miền hội tụ của chuỗi.
Trong (i), ta nói miền hội tụ của chuỗi là một điểm \(x=a\).
Trong (ii), miền hội tụ là \((-\infty;+\infty)\). Trường hợp (iii), miền hội tụ có thể là một trong các miền sau:
\[ (a-R,a+R);\quad\qquad (a-R;a+R];\quad\qquad[a-R,a+R);\quad\qquad[a-R,a+R].\]
Cho chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_n\left( x-a \right)^n\). Tính giới hạn \[\underset{n\to+\infty}{\lim}\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\rho \text{ (hoặc }\underset{n\to+\infty}{lim}\sqrt[n]{| a_n |}=\rho).\]
Bán kính hội tụ \(R=\dfrac{1}{\rho}\).
Ta có \(u_n=\dfrac{(-3)^nx^n}{\sqrt{n+1}}.\) Do đó, xét \begin{align*} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \left| \dfrac{(-3)^{n+1}}{\sqrt{n+2}}\cdot \dfrac{\sqrt{n+1}}{(-3)^{n}}\right|=\left|-3 \sqrt{\dfrac{n+1}{n+2}}\right|\\&=3\sqrt{\dfrac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}} \to 3\text{ khi } n\to+\infty. \end{align*}
Suy ra \(\rho=3\).
Do đó, bán kính hội tụ \(R=\dfrac{1}{3}.\) Vậy, khoảng hội tụ của chuỗi là \(x\in\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right).\)
Bây giờ ta xét sự hội tụ của chuỗi tại hai điểm \( x=-\dfrac{1}{3}\) và \(x=\dfrac{1}{3}\).
Tại \(x=-\dfrac{1}{3}\) chuỗi trở thành \[\sum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{(-3)^n\left(\dfrac{-1}{3}\right)^n}{\sqrt{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}+\cdots\] phân kỳ (so sánh với chuỗi Riemann \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) có \(\alpha =\dfrac{1}{2}\)).
Tại \(x=\dfrac{1}{3}\) chuỗi trở thành \[\sum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{(-3)^n\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}{\sqrt{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\dfrac{-1}{\sqrt{n+1}}\] đây là chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của tiêu chuẩn Leibniz nên hội tụ.
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là \(\left(\dfrac{-1}{3};\dfrac{1}{3}\right]\).
Bước 1: Tìm bán kính hội tụ \(R\) của chuỗi lũy thừa theo quy tắc nêu trên. Từ đó suy ra khoảng hội tụ của \(x-a\).
Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi lũy thừa tại hai điểm đầu mút \(x-a=-R\) và \(x-a=R.\)
Bước 3: Kết luận miền hội tụ của chuỗi.
Ta có \(a_n=\dfrac{n}{3^{n+1}}\). Xét giới hạn \[\underset{n\to\infty}{\lim}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to\infty}{\lim}\left|\dfrac{n+1}{3^{n+2}}\cdot\dfrac{3^{n+1}}{n}\right|=\underset{n\to\infty}{\lim}\left|\frac{n+1}{3n}\right|=\frac{1}{3}.\] Vậy bán kính hội tụ của chuỗi là \(R=3\).
Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi là \(x+2\in(-3;3).\) Bây giờ, xét sự hội tụ tại hai điểm đầu mút như sau:
Tại \(x+2=-3\), chuỗi đã cho có dạng \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n(-3)^n}{3^{n+1}}=\dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n.\) Chuỗi phân kỳ do số hạng thứ \(n\) không dần về \(0\) khi \(n\to\infty\).
Tại \(x+2=3,\) chuỗi đã cho có dạng \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n3^n}{3^{n+1}}=\dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}n.\) Chuỗi này phân kỳ. Do đó, miền hội tụ \(x+2\in\left(-3;3\right)\Leftrightarrow x\in(-5;1)\).
Tính chất 1: Chuỗi lũy thừa hội tụ đều trên mọi đoạn \([a,b]\subset(-R;R).\)
Tính chất 2:Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi trên \([a,b]\subset (-R;R)\).
Tính chất 3:Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm liên tục trong khoảng \((-R;R).\)
Tính chất 4:Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi.