Xét chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\), các số hạng
\(u_n\) có thể âm hoặc dương. Dãy các tổng riêng thứ \(n\) của
nó chưa chắc là một dãy số tăng, vì vậy nếu dãy số ấy bị chặn
trên không có nghĩa là tồn tại \(\underset{n\to \infty}{\lim
}S_n\), nên chuỗi chưa chắc đã hội tụ. Thường khi gặp chuỗi số
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) như vậy ta sẽ xét sự hội tụ
của chuỗi số dương \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left|u_n
\right|\).
Định lí 4.3.1: Nếu chuỗi số dương
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left|u_n\right|\) hội tụ thì
chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\) hội tụ.
Ví dụ 1: Chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin n}{n^2}\) có
\(\left|\dfrac{\sin n}{n^2} \right|\le \dfrac{1}{n^2}\) và
chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}\) là chuỗi
Riemann hội tụ nên chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left|
\dfrac{\sin n}{n^2}\right|\) hội tụ. Vậy chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{\sin n}{n^2}\) hội tụ.
Định nghĩa 4.3.1: Chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| u_n \right|\) hội tụ. Chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\) gọi là bán hội tụ nếu chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\) hội tụ nhưng
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left|u_n \right|\) phân kỳ.
Ví dụ
2: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin
nx}{n^3}\) hội tụ tuyệt đối. Vì \(\left| \dfrac{\sin nx}{n^3}
\right|=\dfrac{\left| \sin nx \right|}{n^3}\le
\dfrac{1}{n^3},\) với mọi \(n\) mà chuỗi số
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^3}\) hội tụ. Chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\left( -1
\right)}^{n-1}}\dfrac{1}{n}\) là bán hội tụ. Vì
\(\sum\left|{{\left(-1 \right)}^{n-1}}\dfrac{1}{n}
\right|=\sum\dfrac{1}{n}\) phân kỳ nhưng
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\left(-1
\right)}^{n-1}}\dfrac{1}{n}}\) hội tụ.
Chú ý:
- Điều kiện \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| u_n\right|\)
hội tụ là điều kiện đủ để \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\)
hội tụ chứ không phải là điều kiện cần. Có một chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\) hội tụ, nhưng
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left| u_n \right|\) phân kỳ ví
dụ như chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{{\left( -1
\right)}^n}{n}\) hội tụ nhưng \(\sum\limits_{n=1}^{\infty
}\left| \dfrac{{\left(-1\right)}^n}{n} \right|\) phân kỳ. Ta
sẽ chứng minh ở phần sau.
- Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hay D’Alembert mà chứng minh
được chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left| u_n \right|\)
phân kỳ, khi đó \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\) cũng phân
kỳ vì \(u_n\nrightarrow 0\) khi \(n\to +\infty \).
Ví dụ 3: Chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left(-1\right)}^n\dfrac{e^{n^2}}{n!}\)
có \[\dfrac{\left|u_{n+1} \right|}{\left|u_n
\right|}=\dfrac{e^{{(n+1)}^2}}{(n+1)!}.\dfrac{n!}{e^{n^2}}=\dfrac{1}{n+1}.e^{2n+1}\to+\infty.\]Do
đó chuỗi đã cho phân kỳ.
Ví dụ 4: Những chuỗi sau là chuỗi
đan dấu:
\[1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\cdots
=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\left(-1
\right)}^{n-1}}\dfrac{1}{n},\]
\[-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{6}{7}-\cdots
=\sum\limits_{n=1}^{\infty} {{\left( -1
\right)}^n}\dfrac{n}{n+1}.\]
Trong ví dụ trên số hạng thứ \(n\) có dạng \(a_n={\left(-1
\right)}^{n-1}u_n\) hoặc \(a_n={\left( -1 \right)}^{n}u_n\)
với \(u_n>0,\text{ với mọi } n\ge 1\). Như vậy chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\) gọi là chuỗi đan dấu nếu
\(u_{n}.u_{n+1}<0\), với mọi \(i\). Không mất tính tổng
quát, ta kí hiệu \[\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\left( -1
\right)}^{n-1}}u_n=u_1-u_2+u_3-\cdots ,u_n>0 \text{ với
mọi } n.\]
Để xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu ta sử dụng Định lý sau.
Định lí 4.3.2 (Tiêu chuẩn
Leibnitz): Nếu dãy số dương \((u_n)_n\) giảm và \(u_n\to
0\) khi \(n\to\infty\) thì chuỗi đan dấu
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left(-1 \right)}^{n-1}u_n\) hội
tụ.
Chú ý:
- Nếu chuỗi đan dấu \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( -1
\right)}^{n-1}{u_n}\) thỏa mãn tiêu chuẩn Leibnitz và hội tụ
về \(S\) thì chuỗi \(-\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left(-1
\right)}^{n-1}u_n\) hội tụ về \(-S.\) Như vậy nếu các giả
thiết của Định lý 4.3.2 được thỏa mãn thì chuỗi đan dấu
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left(-1 \right)}^{n-1}u_n\)
hội tụ và có tổng \(S\) thỏa mãn \(\left|S\right|\le u_1\).
- Nếu chuỗi đan dấu thỏa tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi phần
dư thứ \(n\) cũng hội tụ theo Định lý 4.3.2, khi đó \(\left|
r_n \right|\le u_{n+1}\). Theo tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi
đan dấu hội tụ nhưng không rõ \(S\) bằng bao nhiêu nên ta nảy
sinh vấn đề ước lượng tổng \(S\). Ứng với \(S\approx
{{S}_{n}}\) có sai số tuyệt đối là \(\left| S-S_n
\right|=\left| r_n \right|\le u_{n+1}\).
Ví dụ:Trở lại chuỗi
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left(-1
\right)}^{n-1}\dfrac{1}{n}.\) Nếu xem \[S\approx
S_5=1-\dfrac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\approx
0,5+0,33-0,25+0,2\approx 0,78.\] Mà sai số tuyệt đối ở trường
hợp này là \(\left| S-S_5 \right|=\left| r_n \right|\le
u_6=\dfrac{1}{6}\approx 0,167.\) Để giá trị gần đúng \(S_{n}\)
chính xác đến \(\delta \) ta phải chọn \(n\) sao cho \(\left|
r_5 \right|\le u_6\le \delta.\) Chẳng hạn \(\delta =0,001\),
\(n\) phải thỏa \(\dfrac{1}{n+1}\le
\dfrac{1}{1000}\Leftrightarrow n+1\le 1000\Leftrightarrow n\ge
999.\) Vậy \(n\) tối thiểu là 999.