Chuỗi số dương

1. Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}\).

Ta có \[S_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}\le \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1.2}+\cdots +\dfrac{1}{(n-1)n}=2-\dfrac{1}{n}\le 2.\]Suy ra \({{S}_{n}}\) bị chặn. Vậy chuỗi trên hội tụ.

ii. Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
Ta có \[S_n=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}.\]Suy ra \(S_n\) không bị chặn. Vậy chuỗi đã cho phân kì.

i) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{2^n+n^2+1}{5^n+2n+2}\).

Ta có \(u_n=\dfrac{2^n+n^2+1}{5^n+2n+2}>0,\) với mọi \(n\ge 1\).

Ta so sánh với chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }v_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\) hội tụ.

Dễ thấy rằng \(\underset{n\to \infty }{\lim }\,\dfrac{u_n}{v_n}=1,\) nên theo Định lý so sánh 2 chuỗi đã cho hội tụ.

ii) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{3n+1}{n^2\sqrt{n}+n+2}\).

Ta có \(u_n=\dfrac{3n+1}{n^2\sqrt{n}+n+2}>0,\) với mọi \(n\ge 1.\)

Chọn \(v_n=\dfrac{1}{n\sqrt{n}}>0\).

Do \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{u_n}{v_n}=3\), chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{v_n}\) hội tụ, nên \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{3n+1}{n^2\sqrt{n}+n+2}\) hội tụ.

(i) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left(n+1 \right)!}{2^n}\). Ta có \[\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\underset{n\to+\infty }{\lim }\left( \dfrac{(n+2)!}{2^{n+1}}:\dfrac{(n+1)!}{2^n} \right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\dfrac{2^n(n+2)!}{2^{n+1}(n+1)!}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\dfrac{n+2}{2}=+\infty.\] Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi đã cho phân kỳ.

(ii) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^2}{3^n}.\)Ta có \[\underset{n\to +\infty }{\lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\underset{n\to+\infty}{\lim }\left( \dfrac{(n+1)^2}{3^{n+1}}:\dfrac{n^2}{3^n} \right)=\underset{n\to+\infty}{\lim }\dfrac{3^n(n+1)^2}{3^{n+1}n^2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\dfrac{1}{3}{\left(\dfrac{n+1}{n} \right)}^2=\frac{1}{3}<1.\]
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi đã cho hội tụ.

(iii) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{2^nn!}{n^{n+1}}\).

Xét tỉ số \begin{align*}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{2^{n+1}(n+1)!}{{(n+1)}^{n+2}}:\dfrac{2^n.n!}{{n^{n+1}}}=\dfrac{2^{n+1}(n+1!).n^{n+1}}{{(n+1)}^{n+2}.2^n.n!}\\
&=\dfrac{2.n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=2.\left(\dfrac{1}{\dfrac{n+1}{n}}\right)^{n+1}=\dfrac{2}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}}.
\end{align*}

Chú ý rằng \(\underset{n\to+\infty}{\lim}\left( 1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=e^x\), vậy \(\underset{n\to+\infty }{\lim}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}^{n+1}=e\). Do đó, \(\underset{n\to+\infty}{\lim }\dfrac{2}{{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}}}=\dfrac{2}{e}<1\). Chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert.

(i) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left(\dfrac{3n+1}{4n+2} \right)^{n}\)

Ta có \[\underset{n\to+\infty}{\lim}\sqrt[n]{u_n}=\underset{n\to +\infty}{\lim}\sqrt[n]{\left(\dfrac{3n+1}{4n+2} \right)^{n}}=\underset{n\to+\infty}{\lim }\dfrac{3n+1}{4n+2}=\dfrac{3}{4}<1.\] Chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.

(ii) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n^2}\)

Ta có \[\underset{n\to+\infty}{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\underset{n\to+\infty}{\lim }\sqrt[n]{{\left( \dfrac{n+1}{n}\right)}^{n^2}}=\underset{n\to+\infty }{\lim }{{\left(\frac{n+1}{n} \right)}^{n}}=\underset{n\to+\infty }{\lim }{{\left(1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e>1.\] Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi phân kỳ.

(i) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha}},\alpha\in\mathbb{R}\) (chuỗi Riemann).

- Nếu \(\alpha >0\): đặt \(f(x)=\dfrac{1}{x^{\alpha}}.\) Kiểm tra thấy \(f(x)\) thỏa tất cả điều kiện của Định lý 4.5.
Biết rằng tích phân suy rộng \(\int\limits_{1}^{+\infty }\dfrac{1}{x^{\alpha }}\,dx\) hội tụ khi \(\alpha >1\) và phân kỳ khi \(\alpha \le 1\).

- Nếu \(\alpha\le 0\) thì \(\underset{n\to+\infty}{\lim }u_n=\underset{n\to+\infty}{\lim}\dfrac{1}{n^{\alpha}}\ne 0\).

Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha }},\alpha\in\mathbb{R}\) hội tụ khi \(\alpha >1\) và phân kỳ khi \(\alpha \le 1\).

(ii) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{\sqrt[3]{n^4-1}}{n\sqrt{n+1}}\).

Ta có, khi \(n\) đủ lớn thì \[\dfrac{\sqrt[3]{n^4-1}}{n\sqrt{n+1}}\sim \dfrac{n^{\frac{4}{3}}}{n.{n}^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{n^{\frac{1}{6}}}.\]Vì chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{\frac{1}{6}}}\) phân kỳ nên chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{\sqrt[3]{n^4-1}}{n\sqrt{n+1}}\) phân kỳ.

(iii) Chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{\ln n}{n}\)

Xét hàm số \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) có
\[D_f=\left( 0;+\infty\right),f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\text{ và } f(x)=0\Leftrightarrow x=e.\] Hàm \(f(x)\) liên tục, đơn điệu giảm, dương trong \(\left[3;+\infty\right)\).

Mặt khác, \begin{align*}
\int\limits_{3}^{\infty }{\dfrac{\ln x}{x}}dx&=\int\limits_{3}^{+\infty }{\ln x\,d(\ln x)}=\underset{b\to +\infty }{\lim }\int\limits_{3}^{b}{\ln x\,d(\ln x)}\\
&=\underset{b\to +\infty }{\lim }\left(\dfrac{\ln ^2x}{2}\Big|_{3}^{b} \right)=\underset{b\to+\infty}{\lim}\left(\dfrac{{{\ln }^{2}}b-{{\ln }^{2}}3}{2} \right)=+\infty.
\end{align*}

Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\dfrac{\ln n}{n}}\) phân kỳ.

(iii) Chuỗi \(\sum\limits_{n=2}^{\infty }\dfrac{1}{n\ln n}\).

Xét hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}\) liên tục, dương trên \(\left[ 2;+\infty \right)\) và \(f( n )=\dfrac{1}{n\ln n}\) với mọi \(n\ge 2\).

Ta có \(f'(x)=-\dfrac{\ln x+1}{x^2{\ln}^2x}<0\) với mọi \(x>1\). Suy ra \(f(x)\) giảm trên \(\left[ 2;+\infty\right).\)

Mặt khác, \[\int\limits_{2}^{+\infty }{\dfrac{dx}{x\ln x}}=\underset{b\to +\infty }{\lim }\int\limits_{2}^{b}{\dfrac{dx}{x\ln x}}=\underset{b\to +\infty }{\lim }\dfrac{d\left(\ln x \right)}{\ln x}\Big|_{2}^{b}=\underset{b\to+\infty}{\lim}\big[\ln\left|\ln b\right|-\ln \left|\ln 2\right|\big]=+\infty.\]Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.