Thảo luận nội dung "Khái niệm chuỗi số"
Chẳng hạn
Cho chuỗi số \(\sum\limits_{i=1}^{\infty}u_i\). Với mỗi \(n\) ta đặt \[S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n=\sum\limits_{i=1}^{n}u_i,\] như vậy ta được một dãy mới \({{\left( S_n \right)}_{n\in\mathbb N}}\) gọi là dãy các tổng riêng.
+ Nếu dãy này hội tụ về một giá trị \(S\) ta nói chuỗi số \(\sum\limits_{i=1}^{\infty}u_i\) hội tụ, \(S\) là tổng của chuỗi và viết \[S=\sum_{i=1}^{\infty}u_i=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{\sum_{i=1}^{n}u_i}.\]
+ Nếu dãy \({\left(S_n\right)}_{n\in\mathbb N}\) không hội tụ ta nói chuỗi \(\sum\limits_{i=1}^{\infty}{{{u}_{i}}}\) phân kỳ.
Nếu chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\) hội tụ về \(S\) thì hiệu \(S-S_n\) được gọi là phần dư thứ \(n\) của chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n\), kí hiệu là \({R}_{n}\).
Như vậy, nếu chuỗi số hội tụ thì \({{R}_{n}}\xrightarrow{n\to +\infty }0\).
Dưới dạng ngôn ngữ “\(\epsilon-N\)”, ta có \[\sum\limits_{n=1}^{\infty }u_n \text{ hội tụ } \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists N:n>N\Rightarrow \left| S-S_n \right|<\epsilon\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists N:n>N\Rightarrow \left| R_n \right|<\epsilon.\]
Chuỗi \(\sum\limits_{i=0}^{\infty }q^i=1+q+\cdots +q^i+\cdots \) còn được gọi là chuỗi hình học.
Ta xét các tổng riêng như sau
\begin{align*}
{{S}_{2}}&=1+\dfrac{1}{2},\\
{{S}_{4}}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{2}{2},\\
{{S}_{8}}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\left(
\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}
\right)>1+\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}
\right)+\left(
\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \right)
\\
&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{3}{2},
\\
{{S}_{16}}&=1+\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}
\right)+\left( \frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{8} \right)+\left(
\frac{1}{9}+\ldots +\frac{1}{16} \right) \\
&>1+\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}
\right)+\left( \frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{8} \right)+\left(
\frac{1}{16}+\ldots +\frac{1}{16} \right) \\
&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{4}{2}.
\end{align*}
Tương tự, \({{S}_{32}}>1+\dfrac{5}{2},\text{ }{{S}_{64}}>1+\dfrac{6}{2},\ldots\)
Một cách tổng quát, ta được \({{S}_{2n}}>1+\dfrac{n}{2}\) nên \(S_{2n}\xrightarrow{n\to +\infty }+\infty \). Do đó chuỗi điều hòa phân kì.
Chọn \(\epsilon =1/3\), khi đó \(\forall N\in\mathbb
N,\exists p(=2N)>q(=N)\ge N\) sao cho
\[\left| {{S}_{p}}-{{S}_{q}} \right|=\left|
{{S}_{2N}}-{{S}_{N}}
\right|=\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}+\ldots
+\frac{1}{2N}>\frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}+\ldots
+\frac{1}{2N}=\frac{1}{2}>\frac{1}{3}=\epsilon.\]
Thật vậy, với mọi \(\epsilon >0\) ta chọn \(N\) đủ lớn sao cho \(\dfrac{1}{N} <\epsilon\). Lúc đó, với mọi \(p>q>N\) ta có \[\sum\limits_{i=q+1}^{p}\frac{1}{i^2}\le \frac{1}{q(q+1)}+\cdots +\frac{1}{(p-1)p}=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}<\frac{1}{N}<\epsilon.\] Vậy chuỗi đã cho thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy nên hội tụ.
Chú ý rằng điều ngược lại chưa chắc đúng vì chuỗi điều hòa \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n}}\) phân kì nhưng có \(\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n}=0\).
Tính chất 1: Nếu chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n\) hội tụ và có tổng là \(S\), chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{{{v}_{n}}}\) hội tụ và có tổng là \(S'\) thì các chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( {u_n}\pm {v_n} \right)\) cũng hội tụ và có tổng là \(S\pm S'.\)
Tính chất 2: Nếu chuỗi \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) hội tụ và có tổng là \(S\) thì chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^\infty ku_n\) cũng hội tụ và có tổng là \(kS\).
Tính chất 3: Tính hội tụ của chuỗi không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi một số hữu hạn số hạng.
Thảo luận nội dung "Khái niệm chuỗi số"