Ý tưởng chung của phương pháp sơ cấp để tìm nghiệm của một hệ phương trình nhiều ẩn số là khử dần các ẩn để quy về việc giải các phương trình một ẩn số. Việc khử dần các ẩn số của một hệ phương trình tuyến tính sẽ dẫn đến một trong hai dạng cơ bản dưới đây (nếu hệ có nghiệm). Theo hình dạng của vế trái, ta gọi các hệ phương trình đó là hệ tam giác và hệ hình thang.

Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác là hệ có dạng như sau \[\begin{cases}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\&&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\&&&&\ddots&&\quad\vdots&&\vdots\\&&&&&\ddots&\quad\vdots&&\vdots\\&&&&&&a_{nn}x_n&=&b_n\\\end{cases},\tag{3.4.1}\label{1.3}\] trong đó các hệ số \(a_{ii}\neq 0,\, i=\overline{1,n}\). Đây là một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn; và theo thứ tự từ trên xuống, các hệ số mất dần (\(a_{ij}=0\) khi \(i>j\)). Phương trình cuối cùng của hệ chỉ còn lại một ẩn số. Từ phương trình cuối cùng của \eqref{1.3}, ta xác định được \[x_n=\dfrac{b_n}{a_{nn}}=\alpha_n.\] Tiếp theo, thay \(x_n=\alpha_n\) vào phương trình phía trên (trong hệ \eqref{1.3}) ta lại có phương trình một ẩn số \(x_{n-1}\), từ đó ta xác định được \(x_{n-1}=\alpha_{n-1}\). Lặp lại quá trình này theo trình tự từ dưới lên ta tìm được: \[x_{n-2}=\alpha_{n-2},\dots, x_1=\alpha_1.\] Hệ phương trình tuyến tính \eqref{1.3} có một nghiệm duy nhất: \((\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\).

Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang cũng có đặc điểm giống như hệ tam giác là các phương trình của hệ khuyết dần các ẩn số theo thứ tự từ trên xuống, nhưng hệ hình thang có số phương trình nhỏ hơn số ẩn, do vậy phương trình dưới cùng là phương trình nhiều ẩn số: \[\begin{cases}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1m}x_m&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\&&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2m}x_m&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\&&&&&&\cdots\cdots&&\cdots&&\cdots\cdots&=&\cdots\\&&&&&&a_{mm}x_m&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\\\end{cases},\tag{3.4.2}\label{1.4}\] trong đó \(m<n\) và \(a_{ii}\neq 0\, \forall i=\overline{1,m}\).

Ở dạng \eqref{1.4}, ta gọi \(m\) ẩn đầu \(x_1,x_2,\dots, x_m\) là các ẩn chính và các ẩn còn lại là các ẩn tự do. Gán cho các ẩn tự do giá trị tùy ý \[x_{m+1}=\alpha_{m+1},\dots, x_n=\alpha_n\] và chuyển các số hạng chứa chúng sang vế phải ta được một hệ tam giác đối với các ẩn chính \[\begin{cases}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1-a_{1,m+1}\alpha_{m+1}-\cdots-a_{1n}\alpha_n\\&&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&b_2-a_{2,m+1}\alpha_{m+1}-\cdots-a_{2n}\alpha_n\\&&&&\ddots&&\quad\vdots&&\qquad\qquad\quad\quad\vdots\\&&&&&\ddots&\quad\vdots&&\qquad\qquad\quad\quad\vdots\\&&&&&&a_{nn}x_n&=&b_m-a_{m,m+1}\alpha_{m+1}-\cdots-a_{mn}\alpha_n\\\end{cases}.\] Theo phương pháp giải hệ tam giác, ta xác định được giá trị của các ẩn \(x_1,\dots, x_m\) theo \(\alpha_{m+1},\dots,\alpha_n\). Nghiệm của hệ \eqref{1.4} có dạng: \[\begin{cases}x_1&=&c_{11}\alpha_{m+1}+\cdots+c_{1,n-m}\alpha_n+d_1\\\,\,\vdots&&\qquad\qquad\quad\quad\vdots\\x_m&=&c_{m1}\alpha_{m+1}+\cdots+c_{m,n-m}\alpha_n+d_m\\x_{m+1}&=&\alpha_{m+1}\\\,\,\vdots&&\,\,\,\vdots\\x_n&=&\alpha_n\end{cases}.\tag{3.4.3}\label{1.5}\] Hệ hình thang \eqref{1.4} có vô số nghiệm. Nghiệm viết dưới dạng \eqref{1.5}, với \((\alpha_{m+1},\dots,\alpha_n)\) là một bộ \(n-m\) hằng số bất kỳ, được gọi là nghiệm tổng quát. Mỗi bộ số thực \((\alpha_{m+1},\dots,\alpha_n)\) gán cho các ẩn tự do cho tương ứng một nghiệm của hệ \eqref{1.4}, gọi là nghiệm riêng của nó.

Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, ta thường phải biến đổi hệ phương trình đó về dạng thuận tiện cho việc xác định nghiệm.

Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương.

Dưới đây chúng tôi xin trình bày phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp khử Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính.

Xét hệ phương trình tuyến tính \[\begin{cases}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\quad\vdots&&\quad\vdots&&\,\,\vdots&&\quad\vdots&&\,\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\\\end{cases}.\label{1.6}\tag{3.4.4}\] Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử \(a_{11}\neq 0\) (nếu không ta có thể đổi chỗ các phương trình hoặc sắp xếp lại thứ tự các ẩn số để có được điều đó). Để giải hệ phương trình tuyến tính, ta thực hiện theo quy trình sau:

Khử ẩn \(x_1\) trong các phương trình từ phương trình thứ hai trở xuống bằng cách cộng vào hai vế của phương trình thứ \(i\,(i=\overline{2,m})\) tích các vế tương ứng của phương trình thứ nhất với số \(-\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}\). Chú ý rằng các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương, do đó sau \(m-1\) phép biến đổi như vậy ta được hệ tương đương \[\begin{cases}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\&&a'_{22}x_2&+&\cdots&+&a'_{2n}x_n&=&b'_2\\&&\quad\vdots&&\,\,\vdots&&\quad\vdots&&\,\vdots\\&&a'_{m2}x_2&+&\cdots&+&a'_{mn}x_n&=&b'_m\\\end{cases}\tag{3.4.5}\label{1.7}\] trong đó \[a'_{ij}=a_{ij}-\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}a_{1j}\quad \text{và}\quad b'_i=b_i-\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}b_1, \quad i=\overline{2,m},\,j=\overline{2,n}.\] Trong hệ \eqref{1.7} có khả năng xuất hiện các phương trình với vế trái đồng nhất bằng 0, chẳng hạn phương trình thứ \(i\neq 1\) (nếu trong hệ \eqref{1.6} có phương trình nào đó có vế trái tỷ lệ với vế trái của phương trình thứ nhất), khi đó ta có biểu diễn của phương trình thứ $i$ là \[0.x_1+0.x_2+0.x_3+\cdots+0.x_n=b'_i.\tag{3.4.6}\label{1.8}\] Nếu \(b'_i=0\) thì \eqref{1.8} là một đẳng thức đúng với mọi bộ số gán cho \((x_1,x_2,\dots,x_n)\), do đó ta có thể loại phương trình đó khỏi hệ. Nếu \(b'_i\neq 0\) thì \eqref{1.8} là một đẳng thức sai với mọi bộ số gán cho \((x_1,x_2,\dots,x_n)\), do đó hệ vô nghiệm.

Tương tự, ta khử ẩn \(x_2\) trong các phương trình từ phương trình thứ ba trở xuống của hệ \eqref{1.6} (nếu có), sau đó lại khử ẩn \(x_3\) trong các phương trình từ phương trình thứ tư trở xuống (nếu có)... Sau một số hữu hạn bước biến đổi, quá trình khử ẩn sẽ kết thúc ở một trong ba trường hợp sau đây:

• Hệ nhận được có chứa phương trình dạng \eqref{1.8} với $b'_i\neq 0$ (hệ phương trình vô nghiệm)
• Hệ nhận được có dạng tam giác
• Hệ nhận được có dạng hình thang

Sử dụng phương pháp giải cho hệ tam giác hoặc hệ hình thang để kết luận nghiệm của hệ đã cho.