Thảo luận nội dung "Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất"
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Completion requirements
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là trường hợp riêng của hệ phương trình tuyến tính và có dạng \[\begin{cases}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&0\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&0\\\,\,\,\,\,\vdots&&\,\,\,\,\,\vdots&&\,\,\,\vdots&&\,\,\,\,\,\vdots&&\,\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&0\end{cases}.\label{1.9}\tag{3.3.1}\] Khi giải hệ \eqref{1.9} bằng phương pháp Gauss (sẽ trình bày ở nội dung sau), ta có một số kết luận sau:
- Hệ \eqref{1.9} có ít nhất một nghiệm
\((x_1=0,x_2=0,\dots,x_n=0)\) gọi là nghiệm tầm thường. Do đó, đối với hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có hai khả năng xảy
ra:
-
-
- Hệ có một nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc ở hệ dạng tam giác).
- Hệ có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn kết thúc ở hệ dạng hình thang).
-
-
-
-
- Mọi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với số phương
trình nhỏ hơn số ẩn đều có vô số nghiệm (quá trình khử ẩn chắc
chắn kết thúc ở hệ dạng hình thang).
-
- Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất được xác định khi biết ma trận hệ số của nó và mọi phép biến đổi sơ cấp đều biến một hệ thuần nhất thành một hệ thuần nhất tương đương. Do đó, khi giải một hệ thuần nhất bằng phương pháp Gauss, ta chỉ cần biểu diễn các phép biến đổi trên ma trận hệ số.
Ví dụ: Sử dụng hệ phương trình
tuyến tính để cân bằng phương trình phản ứng hóa học sau \[CH_4
\quad+\quad O_2\quad\to\quad CO_2\quad+\quad H_2O.\]
Cân bằng phương trình phản ứng hóa học này đồng nghĩa với
việc tìm kiếm các giá trị \(x,y,z\) và \(t\) sao cho số lượng
các nguyên tử của mỗi nguyên tố là bằng nhau ở cả 2 vế của
phương trình \[ (x)CH_4 \quad+\quad
O_2\quad\to\quad (z)CO_2\quad+\quad (t)H_2O.\] Từ đây ta có
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
\[\begin{cases}x&&&-&z&&&=&0\\4x&&&&&-&2t&=&0\\&&2y&-&2z&-&t&=&0\end{cases}.\]
Áp dụng biến đổi sơ cấp trên ma trận hệ số ta có:
\[\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\4&0&0&-2\\0&2&-2&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{h_2:=(-4)h_1+h_2}\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&4&-2\\0&2&-2&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{h_2\leftrightarrow
h_3}\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&2&-2&-1\\0&0&4&-2\end{pmatrix}.\]
Hệ thuần nhất tương đương có dạng hình thang
\[\begin{cases}x&&&-&z&&&=&0\\&&2y&-&2z&-&t&=&0\\&&&&4z&-&2t&=&0\end{cases}.\]
Theo cách giải hệ hình thang ta được nghiệm tổng quát
\[\left(\dfrac{\alpha}{2},\alpha,\dfrac{\alpha}{2},\alpha\right),\]
chọn \(\alpha=2\), khi đó ta có phương trình phản ứng đã được
cân bằng \[ CH_4 \quad+\quad 2O_2\quad=\quad CO_2\quad+\quad
2H_2O. \]
Last modified: Wednesday, 4 September 2024, 10:19 AM