Hệ phương trình tuyến tính

Một tập hợp có ít nhất một phương trình tuyến tính được gọi là hệ phương trình tuyến tính, các biến được gọi là các ẩn của hệ. Ví dụ hệ phương trình tuyến tính: \[\begin{cases}&&3I_2&+&I_3&=&7\\I_1&+&I_2&&&=&3\\I_1&+&I_2&-&I_3&=&0\end{cases}\tag{*}\label{md}\] có 3 ẩn là \(I_1,I_2,I_3\).

i. Hệ phương trình dạng \[\begin{cases}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\,\,\,\,\,\vdots&&\,\,\,\,\,\vdots&&\,\,\,\vdots&&\,\,\,\,\,\vdots&&\,\,\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{cases}\label{1.2}\tag{3.1.1}\] (trong đó các \(a_{ij}, b_i\in\mathbb R\)) được gọi là một hệ phương trình tuyến tính \(m\) phương trình, \(n\) ẩn \(x_1,x_2,\dots,x_n\).

ii. Một nghiệm của hệ \eqref{1.2} là một bộ \(n\) số \((s_1,s_2,\dots,s_n)\) sao cho khi thay \(x_i\) bởi \(s_i\) thì mọi đẳng thức trong \eqref{1.2} đều đúng. Một hệ có thể vô nghiệm, có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm. Ví dụ hệ \eqref{md} có nghiệm duy nhất là \((I_1,I_2,I_3)=(1,2,1)\).

iii. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là có nghiệm (hay tương thích) nếu tập nghiệm của nó khác rỗng.

iv. Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm, tức là mọi nghiệm của hệ này đồng thời là nghiệm của hệ kia và ngược lại (hoặc cả 2 hệ đều vô nghiệm).

Những dữ liệu cần thiết để mô tả hệ phương trình tuyến tính có thể được sắp xếp trong một ma trận. Từ hệ \eqref{1.2} có thể viết được các ma trận sau:
i. Ma trận hệ số (ma trận liên kết) \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\\end{pmatrix}\). Ma trận \(A\) có \(m\) dòng, \(n\) cột: dòng thứ \(i\, (i=\overline{1,m})\) là dòng hệ số của phương trình thứ \(i\), cột thứ \(j\, (j=\overline{1,n})\) là cột hệ số của ẩn thứ \(j\).
ii. Ma trận mở rộng (ma trận bổ sung) \(\overline{A}=(A|b)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\,\right|\left.\,\begin{matrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\\\end{matrix}\right).\)