ĐL152: 2.2. Ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1: Ma trận \(A\in\mathcal M_n\) được gọi là khả nghịch (hay không suy biến) nếu tồn tại ma trận \(B\in\mathcal M_n\) sao cho \[A\cdot B=B\cdot A=\mathbf{I}_n,\] \(B\) được gọi là ma trận nghịch đảo của \(A\) và kí hiệu là \(A^{-1}\). Nếu không tồn tại ma trận \(B\) thỏa mãn tính chất trên thì \(A\) được gọi là suy biến.

Ví dụ: 1. Cho \(=\begin{pmatrix}5&5\\1&2\end{pmatrix}\) và \(B=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}\). Khi đó \begin{align}A\cdot B=\begin{pmatrix}5&5\\1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I,\\B\cdot A =\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5&5\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I.\end{align} Như vậy \(A\) và \(B\) khả nghịch và \(B=A^{-1}\) và \(A=B^{-1}\).
2. Ma trận có một hàng không hoặc một cột không thì ma trận này là suy biến. Thật vậy, giả sử \(A\in\mathcal M_3\) trong đó có 3 cột lần lượt là \(c_1,c_2\) và \(\mathbf{0}\). Với mọi ma trận \(B\in\mathcal M_3\) ta có \[B\cdot A=B\cdot\begin{bmatrix}c_1&c_2&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B\cdot c_1&B\cdot c_2&0\end{bmatrix}\neq \mathbf{I}_3\]nên \(A\) suy biến.

Định lí 1: Ma trận \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) "khả nghịch khi và chỉ khi \(ad-bc\neq 0\), hơn nữa \[A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\tag{*}.\] Đại lượng \(ad-bc\) được gọi là Định thức của ma trận \(A\), kí hiệu là \(\det(A)\) hoặc \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\).

Định lí 2: Ma trận nghịch đảo \(A^{-1}\) của \(A\in\mathcal M_n\) nếu tồn tại thì duy nhất.

Tính chất

Giả sử \(A,B\in\mathcal M_n\) là các ma trận khả nghịch, khi đó
i.\((A^{-1})^{-1}=A\)
ii. \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
iii. \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\).
iv.\((A^m)^{-1}=(A^{-1})^m\), \(m\in \mathbb Z_+\)
v.\((k.A)^{-1}=\dfrac{1}{k}.A^{-1}\), \(\forall k\neq 0\).

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss - Jordan

Cho \(A\in\mathcal M_n\), sự tồn tại và việc tìm ma trận nghịch đảo của \(A\) tương đương với việc giải đồng thời \(n\) hệ phương trình \(n\) ẩn. Cụ thể, gọi \(X_i, i=\overline{1,n}\) là nghiệm (nếu có) của hệ phương trình \[A\cdot X_i=e_i,\quad\text{trong đó }e_i=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}\quad\leftarrow\quad \text{cột thứ }i.\]Khi đó \(A^{-1}=\begin{bmatrix}X_1&\cdots&X_n\end{bmatrix}\) với \(X_i\) là cột thứ \(i\). Để tìm ma trận \(A^{-1}\), ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1

Sử dụng phương pháp Gauss trên ma trận \((A\,|\,I)\) đưa \(A\) về dạng tam giác trên:

- Nếu một trong các phần tử của đường chéo chính trong \(A\) bằng 0 thì kết luận \(A\) suy biến, do đó không tồn tại ma trận nghịch đảo.

- Nếu \(a_{ii}\neq 0, i=\overline{1,n}\) thì chia dòng \(i\) với \(a_{ii}\) để tất cả phần tử trên đường chéo chính bằng 1.

Bước 2

Khử các phần tử không nằm trên đường chéo chính bắt đầu từ hàng \(n-1\) đến hàng 1 để đưa về ma trận \((I\,|\,X)\).

Ma trận nghịch đảo \(A^{-1}=X\).

Ví dụ: Sử dụng phương pháp Gauss-Jordan, tìm ma trận nghịch đảo của \(A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8\\ \end{pmatrix}\).

Giải

Ta có, \begin{align*} &(A\,|\,I)=\left(\begin{matrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8\\ \end{matrix}\,\right|\left.\,\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}\right)\xrightarrow[-2h_1+h_2\to h_2]{-h_1+h_3\to h_3}\left(\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&1&-3\\ 0&-2&5\\ \end{matrix}\,\right|\left.\,\begin{matrix} 1&0&0\\ -2&1&0\\ -1&0&1\\ \end{matrix}\right)\\ &\xrightarrow{2h_2+h_3\to h_3}\left(\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&1&-3\\ 0&0&-1\\ \end{matrix}\,\right|\left.\,\begin{matrix} 1&0&0\\ -2&1&0\\ -5&2&1\\ \end{matrix}\right)\xrightarrow{-h_3\to h_3}\left(\begin{matrix} 1&2&3\\ 0&1&-3\\ 0&0&1\\ \end{matrix}\,\right|\left.\,\begin{matrix} 1&0&0\\ -2&1&0\\ 5&-2&-1\\ \end{matrix}\right)\\ &\xrightarrow[-3h_3+h_1\to h_1]{3h_3+h_2\to h_2}\left(\begin{matrix} 1&2&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}\,\right|\left.\,\begin{matrix} -14&6&3\\ 13&-5&-3\\ 5&-2&-1\\ \end{matrix}\right)\xrightarrow{-2h_2+h_1\to h_1}\left(\underbrace{\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix}}_{I}\,\right|\left.\,\underbrace{\begin{matrix} -40&16&9\\ 13&-5&-3\\ 5&-2&-1\\ \end{matrix}}_{A^{-1}}\right) \end{align*}

Vậy, \(A^{-1}=\begin{pmatrix} -40&16&9\\ 13&-5&-3\\ 5&-2&-1\\ \end{pmatrix}.\)

Link to discussion

Thảo luận nội dung "Ma trận nghịch đảo"

Last modified: Tuesday, 10 September 2024, 8:22 AM