Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình vi phân có dạng \[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\tag{13.5}\label{hoa1}\]
trong đó $p(x),\text{ }q(x), \text{ }f(x)$ là những hàm liên tục của $x$.
Nếu $f(x)=0$ thì ta có phương trình $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ và gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất (tương ứng của phương trình \eqref{hoa1}).
Nếu $f(x)\ne 0$ thì phương trình \eqref{hoa1} được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Nếu $p(x)=p,\text{ }q(x)=q\text{ }(p,q-const)$ thì phương trình \eqref{hoa1} có dạng $y''+py'+qy=f(x)$ và được gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi (phương trình tuyến tính có hệ số hằng).
Ví dụ 1. $y''-7y'+6y=\sin 3x$; $y''+3y'+2y=0$; $y''-4y'={{e}^{x}}$ ...là các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng.
Các định lý
Với phương trình tuyến tính thuần nhất $y''+p(x)y'+q(x)y=0$
Định lý 1. Nếu ${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x);{{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ là 2 nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất thì (với ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất.
Định lý 2. Nếu ${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x);{{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tuyến tính thuần nhất thì $y={{C}_{1}}{{y}_{1}}(x)+{{C}_{2}}{{y}_{2}}(x)$ (với ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý) là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất.
Chú ý. ${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x);{{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nếu $\dfrac{{{y}_{1}}(x)}{{{y}_{2}}(x)}\ne const$.
Ví dụ 2. ${{y}_{1}}=1;\text{ }{{y}_{2}}={{e}^{4x}}$ là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình $y''-4y'=0$ nên $y={{C}_{1}}+{{C}_{2}}{{e}^{4x}}$ là nghiệm tổng quát của phương trình đó.
Định lý 3. Nếu ${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x)$ là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất thì ta có thể tìm thêm nghiệm ${{y}_{2}}={{y}_{2}}(x)$ độc lập tuyến tính với ${{y}_{1}}={{y}_{1}}(x)$ bằng cách đặt ${{y}_{2}}=u(x){{y}_{1}}(x)$.
Với phương trình tuyến tính không thuần nhất $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$
Định lý 4. Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiêm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiêm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Định lý 5 (Nguyên lý chồng chất nghiệm).
Giả sử $f(x)={{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)$.
Nếu ${{Y}_{1}}={{Y}_{1}}(x)$ là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính $y''+p(x)y'+q(x)y={{f}_{1}}(x)$
Nếu ${{Y}_{2}}={{Y}_{2}}(x)$ là nghiệm riêng của phương trình tuyến tính $y''+p(x)y'+q(x)y={{f}_{2}}(x)$
Thì $Y={{Y}_{1}}(x)+{{Y}_{2}}(x)$ là nghiệm riêng của phương trình $y''+p(x)y'+q(x)y={{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)$.
Cách giải
(áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)
Giả sử, ta biết nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là $y={{C}_{1}}{{y}_{1}}+{{C}_{2}}{{y}_{2}}$ (*)
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất dưới dạng (*). Để thực hiện được, ta xem ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là các hàm của biến và lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (*), ta có: $y'=C{{'}_{1}}{{y}_{1}}+C{{'}_{2}}{{y}_{2}}+{{C}_{1}}y{{'}_{1}}+{{C}_{2}}y{{'}_{2}}$.
Chọn ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ sao cho $C{{'}_{1}}{{y}_{1}}+C{{'}_{2}}{{y}_{2}}=0$.
Khi đó, $y'={{C}_{1}}y{{'}_{1}}+{{C}_{2}}y{{'}_{2}}\Rightarrow y''={{C}_{1}}y{{''}_{1}}+{{C}_{2}}y{{''}_{2}}+C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}$
Thế $y$, $y'$, $y''$ vào phương trình $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$, ta được:
${{C}_{1}}y{{''}_{1}}+{{C}_{2}}y{{''}_{2}}+C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}+p(x)\left( {{C}_{1}}y{{'}_{1}}+{{C}_{2}}y{{'}_{2}} \right)+q(x)({{C}_{1}}{{y}_{1}}+{{C}_{2}}{{y}_{2}})=f(x)$
Hay ${{C}_{1}}(y{{''}_{1}}+p(x)y{{'}_{1}}+q(x){{y}_{1}})+{{C}_{2}}(y{{''}_{2}}+p(x)y{{'}_{2}}+q(x){{y}_{2}})+C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}=f(x)$
Vì ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất nên
$y{{''}_{1}}+p(x)y{{'}_{1}}+q(x){{y}_{1}}=0$; $y{{''}_{2}}+p(x)y{{'}_{2}}+q(x){{y}_{2}}=0$
Do đó, $C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}=f(x)$
Như vậy, $y={{C}_{1}}{{y}_{1}}+{{C}_{2}}{{y}_{2}}$ sẽ là nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính
không thuần nhất $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ nếu ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ thỏa mãn hệ phương trình: \[\begin{cases} C{{'}_{1}}{{y}_{1}}+C{{'}_{2}}{{y}_{2}}=0 \\C{{'}_{1}}y{{'}_{1}}+C{{'}_{2}}y{{'}_{2}}=f(x) \\\end{cases}\]
Vì ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình tuyến tính thuần nhất nên hệ trên luôn có nghiệm, giả sử $C{{'}_{1}}={{\varphi }_{1}}(x),\text{ }C{{'}_{2}}={{\varphi }_{2}}(x)$
$\Rightarrow {{C}_{1}}=\int{{{\varphi }_{1}}(x)dx}+{{K}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}=\int{{{\varphi }_{2}}(x)dx}+{{K}_{2}}\text{, }{{K}_{1}},{{K}_{2}}-const$.
Thay ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ vừa tìm được vào (*) ta sẽ có nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất cần tìm.
Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân $y''=\dfrac{y'}{x}+x$.
Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân $y''-4y'={{e}^{x}}$.