10.4. Ứng dụng của tích phân bội 2

Theo ví dụ 2, mục 10.1 thì $V=\underset{x^2+y^2\le 1}{\iint }(2-x^2-y^2)dxdy$

Chuyển sang tọa độ cực, ta có: $$V=\underset{x^2+y^2\le 1}{\iint }(2-x^2-y^2)dxdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{1}{\int }}(2-r^2)rdr={\displaystyle \frac{3}{2}}\pi (đvtt)$$

Trước hết ta căn cứ vào đồ thị (biểu diễn miền $D$) để xác định đúng miền $D$: $$D_1:\{\begin{array}{l}0\le x\le 1\\ x^2\le y\le x\end{array}\cup D_2:\{\begin{array}{l}1\le x\le 2\\ x\le y\le x^2\end{array}$$

Để tính diện tích miền $D$ và tính tích phân ta áp dụng công thức (5) và tính chất 3:

Vậy: $$S_D=\underset{D}{\iint }dxdy=\underset{D_1}{\iint }dxdy+\underset{D_2}{\iint }dxdy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{x^2}{\overset{x}{\int }}dy+\underset{1}{\overset{2}{\int }}dx\underset{x}{\overset{x^2}{\int }}dy$$ $$S_D=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{y|}_{y=x^2}^{y=x}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}{y|}_{y=x}^{y=x^2}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x-x^2)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x)dx=1(đvdt)$$

Cần xác định miền $D$- hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $Oxy$: ta có $D$ là hình tròn $x^2+y^2\le 1$.

Tiếp theo, ta tính  $z^{\prime }{}_x;z^{\prime }{}_y$: $z^{\prime }{}_x=2x;z^{\prime }{}_y=2y$

Vậy: $$S_S=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+{(z^{\prime }{}_x)}^2+{(z^{\prime }{}_y)}^2}dxdy=\underset{x^2+y^2\le 1}{\iint }\sqrt{1+4(x^2+y^2)}dxdy$$

Chuyển sang tọa độ cực, ta có:

$S_S=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+4r^2}rdr=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{1}{12}}\cdot {(1+4r^2)|}_0^1={\displaystyle \frac{\pi }{6}}(5\sqrt{5}-1)$  $(đvtt).$

Ta có $M_D=\underset{x^2+y^2\le R^2}{\iint }3\sqrt{x^2+y^2}dxdy$

Chuyển sang tọa độ cực, ta có: $$M_D=\underset{x^2+y^2\le R^2}{\iint }3\sqrt{x^2+y^2}dxdy=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{R}{\int }}3r^{2}dr=2\pi \cdot {r^3|}_0^R=2\pi R^3$$