Định nghĩa. Ta nói: Trong miền không gian $V$ có một trường vector $\vec{F}$ nếu tại mỗi điểm $M\in V$ có 1 vector xác định $\vec{F}$.
Như vậy: Cho 1 trường vector trong miền $V$ là cho một hàm vector xác định trong miền ấy.
Ví dụ 1. Toàn thể các vector vận tốc của 1 dòng nước đang chảy tạo thành 1 trường vector (trường vận tốc của dòng nước).
Đường dòng
Định nghĩa. Cho trường vector: $\vec{F}=\text{ }\vec{F}(M)$.
Đường dòng của trường là 1 đường cong $C$ mà tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến với đường cong đều đồng phương với vector của trường đi qua tiếp điểm.
Ví dụ 2. Các đường sức trong điện trường là các đường dòng.
- Nếu $\vec{F}=\text{ }\vec{F}(M)=\text{ }\vec{F}(x,y,z)={{F}_{x}}(x,y,z)\vec{i}+{{F}_{y}}(x,y,z)\vec{j}+{{F}_{z}}(x,y,z)\vec{k}$ và giả sử phương trình tham số của đường dòng là $x=x(t);\text{ }y=y(t);\text{ }z=z(t)$ thì tiếp tuyến tại mỗi điểm $M(x,y,z)$ của nó sẽ có hệ số chỉ phương $x'(t);\text{ }y'(t);\text{ }z'(t)$.
Mặt khác, tiếp tuyến đồng phương với vector $\vec{F}=\text{ }\vec{F}(M)$ của trường, nên $\dfrac{x'(t)}{{{F}_{x}}}=\dfrac{y'(t)}{{{F}_{y}}}=\dfrac{z'(t)}{{{F}_{z}}}$ hay $\dfrac{x'(t)dt}{{{F}_{x}}}=\dfrac{y'(t)dt}{{{F}_{y}}}=\dfrac{z'(t)dt}{{{F}_{z}}}\Rightarrow\dfrac{dx}{{{F}_{x}}}=\dfrac{dy}{{{F}_{y}}}=\dfrac{dz}{{{F}_{z}}}$ gọi là hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường vector $\vec{F}$.
- Qua mỗi điểm của trường vector có duy nhất 1 đường dòng. Các đường dòng không cắt nhau.
Dive
Định nghĩa
Cho trường vector $\vec{F}=\vec{F}(M)=\vec{F}(x,y,z)={{F}_{x}}(x,y,z)\vec{i}+{{F}_{y}}(x,y,z)\vec{j}+{{F}_{z}}(x,y,z)\vec{k}$.
Tại mỗi điểm $M(x,y,z)$ của trường, ta xét đại lượng vô hướng: $\dfrac{\partial {{F}_{x}}}{\partial x}+\dfrac{\partial {{F}_{y}}}{\partial y}+\dfrac{\partial {{F}_{z}}}{\partial z}$ và gọi là Dive của trường $\vec{F}$ tại $M$ , kí hiệu: $div\vec{F}$.
Như vậy, $div\vec{F}=\dfrac{\partial {{F}_{x}}}{\partial x}+\dfrac{\partial {{F}_{y}}}{\partial y}+\dfrac{\partial {{F}_{z}}}{\partial z}$
Dive của trường $\vec{F}$ tại ${{M}_{0}}$ là $div\vec{F}({{M}_{o}})=\dfrac{\partial {{F}_{x}}}{\partial x}({{M}_{o}})+\dfrac{\partial {{F}_{y}}}{\partial y}({{M}_{o}})+\dfrac{\partial {{F}_{z}}}{\partial z}({{M}_{o}})$.
Chú ý. Trường $\vec{F}$ là trường ống khi và chỉ khi $div\vec{F}(M)=0,\forall M\in V$.
Ví dụ 3. Cho trường vector $\vec{F}=({{x}^{3}}+z)\vec{i}+({{y}^{3}}+x)\vec{j}+({{z}^{3}}+y)\vec{k}$. Tìm $div\vec{F}$.
Rota (Vector xoáy)
Định nghĩa
Cho trường vector $\vec{F}=\vec{F}(M)=\vec{F}(x,y,z)={{F}_{x}}(x,y,z)\vec{i}+{{F}_{y}}(x,y,z)\vec{j}+{{F}_{z}}(x,y,z)\vec{k}.$
Xét vector $\vec{R}=\vec{R}(x,y,z)={{R}_{x}}(x,y,z)\vec{i}+{{R}_{y}}(x,y,z)\vec{j}+{{R}_{z}}(x,y,z)\vec{k}$
với ${{R}_{x}}=\dfrac{\partial {{F}_{z}}}{\partial y}-\dfrac{\partial {{F}_{y}}}{\partial z};\text{ }{{R}_{y}}=\dfrac{\partial {{F}_{x}}}{\partial z}-\dfrac{\partial {{F}_{z}}}{\partial x};\text{ }{{R}_{z}}=\dfrac{\partial {{F}_{y}}}{\partial x}-\dfrac{\partial {{F}_{x}}}{\partial y}$
$\vec{R}$ được gọi là vector xoáy (Rota) của trường $\vec{F}$, kí hiệu $\overrightarrow{rot}\vec{F}$
Như vậy, $\overrightarrow{rot}\vec{F}=\left( \dfrac{\partial {{F}_{z}}}{\partial y}-\dfrac{\partial {{F}_{y}}}{\partial z} \right)\vec{i}+\left( \dfrac{\partial {{F}_{x}}}{\partial z}-\dfrac{\partial {{F}_{z}}}{\partial x} \right)\vec{j}+\left( \dfrac{\partial {{F}_{y}}}{\partial x}-\dfrac{\partial {{F}_{x}}}{\partial y} \right)\vec{k}$.
Chú ý. Với một dòng nước đang chảy thì trong đó sẽ có một điểm xoáy ${{M}_{0}}$ nếu $\overrightarrow{rot}\vec{F}({{M}_{0}})\ne \vec{0}$.
Ví dụ 4. Cho trường vector $\vec{F}=({{x}^{3}}+z)\vec{i}+({{y}^{3}}+x)\vec{j}+({{z}^{3}}+y)\vec{k}$. Tìm $\overrightarrow{rot}\vec{F}$.
Trường thế
Định nghĩa
Cho trường vector $\vec{F}=\vec{F}(M)=\vec{F}(x,y,z)={{F}_{x}}(x,y,z)\vec{i}+{{F}_{y}}(x,y,z)\vec{j}+{{F}_{z}}(x,y,z)\vec{k}$.
Nếu tồn tại hàm vô hướng $u=u(x,y,z)$ sao cho tại mọi điểm của $V$ ta đều có $\overrightarrow{grad}u=\vec{F}$ thì $\vec{F}$ được gọi là trường thế và $u=u(x,y,z)$ được gọi là hàm thế vị của trường $\vec{F}$.
Chú ý. Trường $\vec{F}$ là trường thế khi và chỉ khi $\overrightarrow{rot}\vec{F}(M)=\vec{0}$ với mọi $ M\in V$
Ví dụ 5. Theo kết quả ví dụ 4, trường vector $\vec{F}=({{x}^{3}}+z)\vec{i}+({{y}^{3}}+x)\vec{j}+({{z}^{3}}+y)\vec{k}$ không phải là trường thế.
Ví dụ 6. Chứng minh trường vector $\vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$ là trường thế.
Toán tử Hamilton
Định nghĩa. Toán tử Hamilton là “vector tượng trưng” $\vec{\nabla }=\vec{i}\dfrac{\partial }{\partial \text{x}}+\vec{j}\dfrac{\partial }{\partial \text{y}}+\vec{k}\dfrac{\partial }{\partial \text{z}}$.
- Nhân vô hướng với chính nó ta được một đại lượng vô hướng $\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}}{\partial {{\text{x}}^{\text{2}}}}+\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}}{\partial {{\text{y}}^{\text{2}}}}+\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}}{\partial {{\text{z}}^{\text{2}}}}$ được gọi là toán tử Laplace, kí hiệu $\Delta $.
Ta có: $\Delta u=\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}\text{u}}{\partial {{\text{x}}^{\text{2}}}}+\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}\text{u}}{\partial {{\text{y}}^{\text{2}}}}+\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}\text{u}}{\partial {{\text{z}}^{\text{2}}}}$.
Hàm $u$ thỏa mãn phương trình $\Delta u=0$ được gọi là hàm điều hòa
$\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}\text{u}}{\partial {{\text{x}}^{\text{2}}}}+\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}\text{u}}{\partial {{\text{y}}^{\text{2}}}}+\dfrac{{{\partial }^{\text{2}}}\text{u}}{\partial {{\text{z}}^{\text{2}}}}=0$ được gọi là phương trình Laplace.
Như vậy: Nghiệm của phương trình Laplace là 1 hàm điều hòa.
- Các hàm điều hòa có nhiều ứng dụng trong vật lý khi nghiên cứu sự truyền nhiệt, sự bức xạ nhiệt, từ trường, âm học…
Một trường xác định bởi 1 hàm điều hòa được gọi là trường điều hòa.
Ví dụ 7. Trường vô hướng $u=\dfrac{\text{1}}{\sqrt{{{\text{x}}^{\text{2}}}+{{\text{y}}^{\text{2}}}+{{\text{z}}^{\text{2}}}}}$ là trường điều hòa.