ĐL152: 8.3. Đạo hàm của hàm hợp

Định nghĩa. Cho hàm số $z=f(u,v)$, trong đó $u$ và $v$ là hàm của 2 biến độc lập $x,\text{ }y$ $(u=u(x,y);\text{ }v=v(x,y))$. Khi ấy ta nói $z$ là hàm hợp của $x,\text{ }y$ thông qua 2 biến trung gian $u,\text{ }v$: $z=f(u(x,y),v(x,y)).$

Định lý. Nếu hàm $z=f(u,v)$ khả vi và các hàm $u,\text{ }v$ có các đạo hàm riêng liên tục thì tồn tại các đạo hàm riêng $z{{'}_{x}};\text{ }z{{'}_{y}}$ và $\begin{cases}z{{'}_{x}}=z{{'}_{u}}.u{{'}_{x}}+z{{'}_{v}}.v{{'}_{x}} \\z{{'}_{y}}=z{{'}_{u}}.u{{'}_{y}}+z{{'}_{v}}.v{{'}_{y}} \\\end{cases}.$

Chú ý

$\left[ \begin{matrix}u{{'}_{x}} & v{{'}_{x}} \\u{{'}_{y}} & v{{'}_{y}} \\\end{matrix} \right]$ được gọi là ma trận Jacobi của $u,\text{ }v$ đối với $x,\text{ }y.$
$\dfrac{D(u,v)}{D(x,y)}=\left| \begin{matrix}u{{'}_{x}} & v{{'}_{x}} \\u{{'}_{y}} & v{{'}_{y}} \\\end{matrix} \right|$ được gọi là định thức Jacobi của $u,\text{ }v$ đối với $x,\text{ }y.$
$z=f(x,y);y=\varphi (x):\dfrac{dz}{dx}=z{{'}_{x}}+z{{'}_{y}}\cdot \dfrac{dy}{dx}$ và gọi là đạo hàm toàn phần của $z$ theo biến $x$.
$z=f(x,y);x=x(t);y=y(t):\dfrac{dz}{dt}=z{{'}_{x}}\cdot \dfrac{dx}{dt}+z{{'}_{y}}\cdot \dfrac{dy}{dt}$.
Vi phân toàn phần của hàm nhiều biến cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm 1 biến, do đó: $d(u\pm v)=du\pm dv$; $d(uv)=udv+vdu$; $d\left( \dfrac{u}{v} \right)=\dfrac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$ .
Các công thức trên vẫn đúng khi $u,\text{ }v$ là những hàm số của các biến độc lập khác.

Ví dụ 1. Cho hàm $z={{x}^{2}}+\sqrt{y};y=\sin x$. Tìm $\dfrac{dz}{dx}$.

Giải

Trước hết ta tìm $z{{'}_{x}};\text{ }z{{'}_{y}};\text{ }\dfrac{dy}{dx}$

$z{{'}_{x}}=2x;\text{ }z{{'}_{y}}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}};\text{ }\dfrac{dy}{dx}=\cos x$

$\dfrac{dz}{dx}=z{{'}_{x}}+z{{'}_{y}}\cdot \dfrac{dy}{dx}=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\cdot \cos x=2x+\dfrac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot \cos x$.

Ví dụ 2. Cho hàm $z={{e}^{u}}\cos v,\text{ }u=x+2y;\text{ }v=xy$. Tìm $z{{'}_{x}};\text{ }z{{'}_{y}}$.

Giải

Hướng dẫn: Trước hết ta tìm các đạo hàm riêng: $z{{'}_{u}};\text{ }z{{'}_{v}};\text{ }u{{'}_{x}};\text{ }u{{'}_{y}};\text{ }v{{'}_{x}};\text{ }v{{'}_{y}}\text{ }$

$z{{'}_{u}}={{e}^{u}}\cos v;\text{ }z{{'}_{v}}=-{{e}^{u}}\sin v;\text{ }u{{'}_{x}}=1;\text{ }u{{'}_{y}}=2;\text{ }v{{'}_{x}}=y;\text{ }v{{'}_{y}}=x$

Sau đó ta thay vào công thức $\begin{cases}z{{'}_{x}}=z{{'}_{u}}.u{{'}_{x}}+z{{'}_{v}}.v{{'}_{x}} \\z{{'}_{y}}=z{{'}_{u}}.u{{'}_{y}}+z{{'}_{v}}.v{{'}_{y}} \\\end{cases}.$

Ta có: $\begin{cases}z_{x}^{'}={{e}^{u}}\cos v.1-y{{e}^{u}}\sin v \\z_{y}^{'}={{e}^{u}}\cos v.2-x{{e}^{u}}\sin v \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}z_{x}^{'}={{e}^{x+2y}}\cos xy-y{{e}^{x+2y}}\sin xy \\z_{y}^{'}=2{{e}^{x+2y}}\cos xy-x{{e}^{x+2y}}\sin xy \\\end{cases}. $

Link to discussion

Thảo luận nội dung "Đạo hàm của hàm hợp"

Last modified: Thursday, 5 September 2024, 9:58 AM