ĐL152: 1.2. Định nghĩa Định thức

Tra cứu kiến thức môn học close

Khái niệm

Xét ma trận vuông cấp $n$ $$A=\left[\begin{array}{cccccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1j} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2j} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{i1} } & {a_{i2} } & {\cdots } & {a_{ij} } & {\cdots } & {a_{in} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\cdots } & {a_{nj} } & {\cdots } & {a_{nn} } \end{array}\right].$$Ma trận vuông cấp $n-1$ có được từ $A$ bằng cách bỏ đi hàng $i, (i=\overline{1,n})$, cột $j,(j=\overline{1,n})$ được gọi là ma trận con ứng với phần tử $a_{ij}$. Kí hiệu $M_{ij}$.

Chẳng hạn $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ có 4 ma trận con ứng với 4 phần tử $a_{ij}$ là: $M_{11} =\left[a_{22} \right],M_{12} =\left[a_{21} \right]$, $M_{21} =\left[a_{12} \right],M_{22} =\left[a_{11} \right].$

Hay $A=\left[\begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right]$ có 9 ma trận con ứng với 9 phần tử là: $$M_{11} =\left[\begin{array}{cc} {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{12} =\left[\begin{array}{cc} {a_{21} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{13} =\left[\begin{array}{cc} {a_{21} } & {a_{22} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } \end{array}\right];$$ $$M_{21} =\left[\begin{array}{cc} {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{22} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{13} } \\ {a_{31} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{23} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } \end{array}\right];$$ $$M_{31} =\left[\begin{array}{cc} {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{22} } & {a_{23} } \end{array}\right];\quad M_{32} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{23} } \end{array}\right];\quad M_{33} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right].$$

Định nghĩa 2:

Định thức của ma trận vuông $A$ là một số, kí hiệu $\det \left(A\right)$, được định nghĩa quy nạp như sau:

$A$ là ma trận vuông cấp 1: $A=\left[a_{11} \right]$ thì $\det \left(A\right)=a_{11}$.
$A$ là ma trận vuông cấp 2: $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ thì $$\det \left(A\right)=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)=a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} .$$
$A$ là ma trận vuông cấp 3: $A=\left[\begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right]$ thì \begin{align}\det \left(A\right)&=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)+a_{13} \det \left(M_{13} \right)\\&=a_{11} \left(a_{22} a_{33} - a_{32} a_{23} \right)\; - a_{12} \left(a_{21} a_{33} - a_{31} a_{23} \right)+a_{13} \left(a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} \right)\\&=a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{31} a_{23} +a_{13} a_{21} a_{32} -\left(a_{13} a_{22} a_{31} +a_{11} a_{32} a_{23} +a_{12} a_{21} a_{33} \right).\end{align}
$A$ là ma trận vuông cấp $n$: $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\cdots } & {a_{nn} } \end{array}\right]$ thì $$\det \left(A\right)=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)+a_{13} \det \left(M_{13} \right)- \cdots +\left(-1\right)^{1+n} a_{1n} \det \left(M_{1n} \right).$$

Trong đó, $(-1)^{i+j}\det(M_{ij}), i=\overline{1,n}$ được gọi là phần phụ đại số của phần tử $a_{ij},$ với $M_{ij}$ là ma trận sinh ra từ ma trận $A$ bằng cách bỏ đi hàng $i$ cột $j$. Công thức trên được gọi là khai triển định thức theo hàng $i$ (hay còn gọi là công thức khai trển Laplace). Tương tự ta có thể khai triển định thức theo cột $j$ như sau: $$\det(A)=\sum\limits_{1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),j=\overline{1,n}.$$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {-3} \\ {5} & {7} \end{array}\right]$.

Giải

$\det (A)=1.7-(-3).5=22$.

Chú ý

Định thức của ma trận vuông cấp $n$ được gọi là định thức cấp $n$.
Thường dùng dấu $|\,|$ để kí hiệu cho định thức, chẳng hạn định thức của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ được kí hiệu $\left|\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right|$.

Link to discussion

Thảo luận nội dung "Định nghĩa định thức"

Last modified: Tuesday, 10 September 2024, 8:35 AM