ĐL152: 1.2. Định nghĩa Định thức

Tra cứu kiến thức môn học close

Khái niệm

Xét ma trận vuông $n$ cấp $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«/math»$ Ma trận vuông cấp $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/math»$ có được từ $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math»$ bằng cách bỏ đi hàng $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«mo»,«/mo»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mover»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«mo accent=¨true¨»§#8213;«/mo»«/mover»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«/math»$ , cột $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j«/mi»«mo»,«/mo»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«mi»j«/mi»«mo»=«/mo»«mover»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«mo accent=¨true¨»§#8213;«/mo»«/mover»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«/math»$ được gọi là ma trận con ứng với phần tử $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»$ . Kí hiệu $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»$ .

Chẳng hạn $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«mtable columnalign=¨center center¨ columnspacing=¨1em¨ rowspacing=¨4pt¨»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»$ có 4 ma trận con ứng với 4 phần tử $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»$ là: $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«mo»,«/mo»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»$ , $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«mo»,«/mo»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«mo».«/mo»«/math»$

Hay $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«mtable columnalign=¨center center center¨ columnspacing=¨1em¨ rowspacing=¨4pt¨»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»13«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»23«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»31«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»32«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»33«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»$ có 9 ma trận con ứng với 9 phần tử là: $null$

Định nghĩa 2:

Định thức của ma trận vuông $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math»$ là một số, kí hiệu $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo data-mjx-texclass=¨OP¨ movablelimits=¨true¨»det«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»)«/mo»«/mrow»«/math»$ , được định nghĩa quy nạp như sau:

$«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math»$ là ma trận vuông cấp 1: $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»$ thì $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo data-mjx-texclass=¨OP¨ movablelimits=¨true¨»det«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»)«/mo»«/mrow»«mo»=«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«/math»$ .
$«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math»$ là ma trận vuông cấp 2: $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«mtable columnalign=¨center center¨ columnspacing=¨1em¨ rowspacing=¨4pt¨»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»$ thì $null$
$«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math»$ là ma trận vuông cấp 3: $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«mtable columnalign=¨center center center¨ columnspacing=¨1em¨ rowspacing=¨4pt¨»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»13«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»23«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»31«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»32«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»33«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»$ thì
$«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math»$ là ma trận vuông cấp $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«/math»$ : thì $null$

Trong đó, $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msup»«mo data-mjx-texclass=¨OP¨ movablelimits=¨true¨»det«/mo»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mover»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«mo accent=¨true¨»§#8213;«/mo»«/mover»«/math»$ được gọi là phần phụ đại số của phần tử $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«mo»,«/mo»«/math»$ với $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«/math»$ là ma trận sinh ra từ ma trận $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math»$ bằng cách bỏ đi hàng $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«/math»$ cột $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j«/mi»«/math»$ . Công thức trên được gọi là khai triển định thức theo hàng $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«/math»$ (hay còn gọi là công thức khai trển Laplace). Tương tự ta có thể khai triển định thức theo cột $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»j«/mi»«/math»$ như sau: $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨ display=¨block¨»«mo data-mjx-texclass=¨OP¨ movablelimits=¨true¨»det«/mo»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«mo»=«/mo»«munderover»«mo data-mjx-texclass=¨OP¨ movablelimits=¨false¨»§#8721;«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»n«/mi»«/mrow»«/munderover»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mo»+«/mo»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«mo data-mjx-texclass=¨OP¨ movablelimits=¨true¨»det«/mo»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«msub»«mi»M«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mi»i«/mi»«mi»j«/mi»«/mrow»«/msub»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»j«/mi»«mo»=«/mo»«mover»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«mo accent=¨true¨»§#8213;«/mo»«/mover»«mo».«/mo»«/math»$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«mtable columnalign=¨center center¨ columnspacing=¨1em¨ rowspacing=¨4pt¨»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»

Giải

$«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo data-mjx-texclass=¨OP¨ movablelimits=¨true¨»det«/mo»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1.7«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mo stretchy=¨false¨»(«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo stretchy=¨false¨»)«/mo»«mn».5«/mn»«mo»=«/mo»«mn»22«/mn»«/math»$ .

Chú ý

Định thức của ma trận vuông cấp $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«/math»$ được gọi là định thức cấp $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«/math»$ .
Thường dùng dấu $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo stretchy=¨false¨»|«/mo»«mstyle scriptlevel=¨0¨»«mspace width=¨0.167em¨»«/mspace»«/mstyle»«mo stretchy=¨false¨»|«/mo»«/math»$ để kí hiệu cho định thức, chẳng hạn định thức của ma trận $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»[«/mo»«mtable columnalign=¨center center¨ columnspacing=¨1em¨ rowspacing=¨4pt¨»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»]«/mo»«/mrow»«/math»$ được kí hiệu $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mrow data-mjx-texclass=¨INNER¨»«mo data-mjx-texclass=¨OPEN¨»|«/mo»«mtable columnalign=¨center center¨ columnspacing=¨1em¨ rowspacing=¨4pt¨»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»11«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»12«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»21«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«mtd»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«msub»«mi»a«/mi»«mrow data-mjx-texclass=¨ORD¨»«mn»22«/mn»«/mrow»«/msub»«/mrow»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mo data-mjx-texclass=¨CLOSE¨»|«/mo»«/mrow»«/math»$ .

{discussion:1161.1.2}

Last modified: Monday, 5 May 2025, 3:38 PM