Để chứng minh công thức tần số góc của dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng, ta đi qua các bước sau: 

     1. Xét dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng: Giả sử một hạt có thế năng \(V(x)\) và vị trí cân bằng là \(x_0\), tức là \(\frac{dV}{dx} \big|_{x = x_0} = 0\) 

     Khi hạt dao động quanh \(x_0\), ta có thể xấp xỉ thế năng \(V(x)\) bằng cách khai triển Taylor quanh \(x_0\) đến bậc hai: \[ V(x) \approx V(x_0) + \frac{1}{2} V''(x_0) (x - x_0)^2 \] 

     Do \(x_0\) là vị trí cân bằng, nên \(\frac{dV}{dx} \big|_{x = x_0} = 0\), và ta chỉ cần xét thành phần bậc hai. Thành phần này tạo ra một thế năng dạng parabol, đặc trưng cho dao động điều hòa. 

     2. Phương trình chuyển động: Theo định luật Newton, lực tác dụng lên hạt là: \[ F = -\frac{dV}{dx} \]

     Đối với dao động nhỏ quanh \(x_0\), với \(V(x) \approx V(x_0) + \frac{1}{2} V''(x_0) (x - x_0)^2\), ta có: \[ F \approx -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} V''(x_0) (x - x_0)^2 \right) = -V''(x_0)(x - x_0) \] 

     Phương trình chuyển động của hạt là: \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -V''(x_0)(x - x_0) \] 

     hoặc \[ \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{V''(x_0)}{m} (x - x_0) \] 

     3. Tìm tần số góc: Phương trình trên có dạng của phương trình dao động điều hòa: \[ \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 (x - x_0) \] trong đó \(\omega\) là tần số góc. So sánh hai phương trình, ta thấy: \[ \omega^2 = \frac{V''(x_0)}{m} \] 

     Do đó, tần số góc \(\omega\) là: \[ \omega = \sqrt{\frac{V''(x_0)}{m}} \]

     Vậy ta đã chứng minh được công thức.