Có 3 dạng phương trình khuyết có thể giảm cấp được: Phương trình khuyết $y$ và $y'$; phương trình khuyết $y$ và phương trình khuyết $x$
Phương pháp chung là đổi biến để đưa về phương trình vi phân cấp 1 quen thuộc.
Đặt $y'=t$, ta đưa phương trình \eqref{hoa1} về phương trình vi phân cấp 1 đối với hàm $t$ và biến $x$: $F(x,t')=0$.
Giải phương trình này ta có nghiệm $t=\varphi (x,{{C}_{1}})$$\Rightarrow y'=\varphi (x,{{C}_{1}})$ hay $dy=\varphi (x,{{C}_{1}})dx$, lấy tích phân bất định 2 vế, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: $y=\Phi (x,{{C}_{1}})+{{C}_{2}}$ (trong đó $\Phi (x,{{C}_{1}})=\int{\varphi (x,{{C}_{1}})}dx$ và ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý).
Tuy nhiên, nếu phương trình khuyết $y$, $y'$ dạng $y''=f(x)$ thì ta chỉ việc lấy tích phân bất định 2 lần liên tiếp.
Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có: $y'={{e}^{x}}(x-1)+{{C}_{1}}$
Lấy tích phân bất định 2 vế lần nữa, ta có: $y={{e}^{x}}(x-2)+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}$
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
$y={{e}^{x}}(x-2)+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}$ (${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý).
Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có: $y'=-\cos x+{{C}_{1}}$
Lấy tích phân bất định 2 vế lần nữa: $y=-\sin x+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}$
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
$y=-\sin x+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}$ (${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$.là những hằng số tùy ý).
Với điều kiện đầu $y(0)=0,\text{ }y'(0)=1$, ta có: \[\begin{cases} 0=-0+{{C}_{2}} \\1=-1+{{C}_{1}} \\\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{{C}_{2}}=0 \\ {{C}_{1}}=2 \\\end{cases}\]
Vậy, nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu cho trước là: $y=-\sin x+2x$.
Đổi biến để đưa về phương trình vi phân cấp một quen thuộc.
Đặt $y'=t$, ta đưa phương trình \eqref{hoa2} về phương trình vi phân cấp t đối với hàm $t$, biến $x$: $F(x,t,t')=0$.
Giải phương trình này ta có nghiệm $t=\varphi (x,{{C}_{1}})$ $\Rightarrow y'=\varphi (x,{{C}_{1}})$ hay $dy=\varphi (x,{{C}_{1}})dx$, lấy tích phân bất định 2 vế, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: $y=\Phi (x,{{C}_{1}})+{{C}_{2}}$ (trong đó $\Phi (x,{{C}_{1}})=\int{\varphi (x,{{C}_{1}})}dx$ và ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý).
Đặt $y'=t$, ta có phương trình tuyến tính cấp 1 đối với hàm $t$, biến $x$ như sau: $t'-\dfrac{t}{x}=x$ (a)
Áp dụng cách giải phương trình tuyến tính cấp 1 ta có nghiệm của phương trình (a) là $t={{x}^{2}}+{{C}_{1}}x$ với ${{C}_{1}}$ là những hằng số tùy ý.
$y'={{x}^{2}}+{{C}_{1}}x\Leftrightarrow dy=\left( {{x}^{2}}+{{C}_{1}}x \right)dx\Rightarrow y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{C}_{1}}{{x}^{2}}+{{C}_{2}}$
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{C}_{1}}{{x}^{2}}+{{C}_{2}}$
(${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý).
Tương tự ví dụ 5, đặt $y'=t$, ta có phương trình tuyến tính cấp một đối với hàm $t$, biến $x$ như sau: $t'+t=x{{e}^{2x}}$ (a)
Áp dụng cách giải phương trình tuyến tính cấp 1 ta có nghiệm của phương trình (a) là $t=\dfrac{1}{9}{{e}^{2x}}(3x-1)+{{C}_{1}}{{e}^{-x}}$ với ${{C}_{1}}$ là những hằng số tùy ý.
$y'=\dfrac{1}{9}{{e}^{2x}}(3x-1)+{{C}_{1}}{{e}^{-x}}\Rightarrow y={{e}^{2x}}\left( \dfrac{1}{6}x-\dfrac{5}{36} \right)-{{C}_{1}}{{e}^{-x}}+{{C}_{2}}$
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $y={{e}^{2x}}\left( \dfrac{1}{6}x-\dfrac{5}{36} \right)-{{C}_{1}}{{e}^{-x}}+{{C}_{2}}$ (${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$là những hằng số tùy ý).
Đổi biến để đưa về phương trình vi phân cấp một quen thuộc.
Đặt $y'=t$ và xem $t$ là hàm của $y$, lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức $y'=t$ theo biến $x$ ta có: \[y''=\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dt}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dx}=t\cdot \dfrac{dt}{dy}\]
Khi đó, phương trình \eqref{hoa3} được đưa về phương trình vi phân cấp một đối với hàm $t$, biến $y$: $F\left( y,t,t\cdot \dfrac{dt}{dy} \right)=0$.
Giải phương trình này ta có nghiệm $t=\varphi (y,{{C}_{1}})$ $\Rightarrow y'=\varphi (y,{{C}_{1}})$ hay $dx=\dfrac{dy}{\varphi (y,{{C}_{1}})}$, lấy tích phân bất định 2 vế, ta có tích phân tổng quát của phương trình đã cho: $x=\Phi (y,{{C}_{1}})+{{C}_{2}}$ (trong đó $\Phi (y,{{C}_{1}})=\int{\dfrac{1}{\varphi (y,{{C}_{1}})}}dy$ và ${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý).
Đặt $y'=t$, ta có phương trình tuyến tính cấp 1 đối với hàm $t$, biến $y$ như sau: $yt\dfrac{dt}{dy}-{{t}^{2}}=0$ hay $t\left( y\dfrac{dt}{dy}-t \right)=0$.
Trường hợp 1. $t=0\Rightarrow y'=0\Rightarrow y=C,\text{ }C-const$
Trường hợp 2. $y\dfrac{dt}{dy}-t=0\Leftrightarrow \dfrac{dt}{t}=\dfrac{dy}{y}$
Lấy tích phân bất định 2 vế, ta có: $\ln |t|=\ln |y|+\ln |{{C}_{1}}|\Rightarrow t={{C}_{1}}y$ với ${{C}_{1}}$ là những hằng số tùy ý.
$y'={{C}_{1}}y\Rightarrow \dfrac{dy}{y}={{C}_{1}}dx\Rightarrow \ln |y|={{C}_{1}}x+\ln |{{C}_{2}}|\Rightarrow y={{C}_{2}}{{e}^{{{C}_{1}}x}}$
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y={{C}_{2}}{{e}^{{{C}_{1}}x}}$ (${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$là những hằng số tùy ý).
Nghiệm tổng quát trong trường hợp 1 ($y=C,\text{ }C-const$) cũng thuộc họ nghiệm tổng quát của trường hợp 2 (ứng với ${{C}_{1}}=0$).
Đặt $y'=t$, ta có phương trình tuyến tính cấp 1 đối với hàm $t$, biến $y$ như sau: $t\dfrac{dt}{dy}-4t=0$ hay $t\left( \dfrac{dt}{dy}-4 \right)=0$.
Trường hợp 1. $t=0\Rightarrow y'=0\Rightarrow y=C,\text{ }C-const$
Trường hợp 2. $\dfrac{dt}{dy}-4=0\Rightarrow t=4y-4{{C}_{1}}$ với ${{C}_{1}}$ là những hằng số tùy ý.
$y'=4y-4{{C}_{1}}\Rightarrow \dfrac{dy}{4y-4{{C}_{1}}}=dx\Rightarrow \dfrac{1}{4}\ln |4y-4{{C}_{1}}|=x+\dfrac{1}{4}\ln |4{{C}_{2}}|\Rightarrow y={{C}_{1}}+{{C}_{2}}{{e}^{4x}}$.
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y={{C}_{1}}+{{C}_{2}}{{e}^{4x}}$ (${{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}}$ là những hằng số tùy ý).
Nghiệm tổng quát trong trường hợp 1 ($y=C,\text{ }C-const$) cũng thuộc họ nghiệm tổng quát của trường hợp 2 (ứng với ${{C}_{2}}=0$) nên thực tế không cần xét trường hợp 1.