Bổ đề 6.4: Nếu \(\alpha\in\mathbb{R}\) là số sao cho hàm \[\varphi(u):=\dfrac{f(x+2u)+f(x-2u)-2\alpha}{\sin(u)}\] khả tích, thì chuỗi Fourier của hàm \(f\) tại điểm \(x\) hội tụ về \(\alpha.\)
Ta thừa nhận Định lý sau đây.
Định lí 6.3: Nếu hàm \(f\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\), thỏa mãn một trong hai điều kiện (Điều kiện Dirichlet) sau trên đoạn \([-\pi; \pi]\): (i) Hoặc \(f\) liên tục từng khúc và có đạo hàm \(f'\) liên tục từng khúc (ii) Hoặc \(f\) đơn điệu từng khúc và bị chặn.
Khi đó, chuỗi Fourier của \(f\) hội tụ tại mọi điểm. Tổng \(S(x)\) của nó hội tụ bằng \(f(x)\) tại những điểm liên tục của \(f\). Tại điểm gián đoạn \(c\) của \(f\), ta có \[S(c)=\dfrac{f(c+0)+f(c-0)}{2}.\]
Ví dụ 6.3.1:Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số \(f(x)\) tuần hoàn chu kỳ \(2\pi\), bằng \(x\) trên khoảng \((-\pi;\pi)\).
Hàm số thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên có thể khai triển được thành chuỗi Fourier. Ta tính các hệ số Fourier như sau: Vì hàm \(f(x)\) lẻ trên \([-\pi; \pi]\) nên \(a_n=0,n=0,1,2,\ldots\)
Xấp xỉ hàm \(x\) bởi \(2\sum\limits_{k=1}^{5} \dfrac{(-1)^{k+1}\sin(kx)}{k}\) trên \(\left[-\pi;\pi\right].\)
Tại \(x=\pi\) tổng của chuỗi bằng \[\dfrac{f(\pi+0)+f(\pi-0)}{2}=0.\]
Tại \(x=-\pi\) ta cũng có kết quả tương tự.
Ví dụ 6.3.2: Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số \(f(x)\) tuần hoàn chu kỳ \(2\pi\), xác định như sau: \[f(x)=\begin{cases}0,\text{ nếu } -\pi\leq x< 0,\\x,\text{ nếu } 0\leq x<\pi.\end{cases}\]
\begin{align*}a_0&=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\left[\int\limits_{-\pi}^{0}0dx+\int\limits_{0}^{\pi}xdx\right]=\dfrac{1}{\pi}.\dfrac{\pi^2}{2}=\dfrac{\pi}{2}.\\ a_n&=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\cos nxdx=\frac{1}{\pi}\left[\left.\dfrac{x\sin nx}{n}\right|_{0}^{\pi}-\dfrac{1}{n}\int\limits_{0}^{\pi}\sin nxdx\right]=\\ &=\left.\dfrac{1}{n\pi}\dfrac{\cos nx}{n}\right|_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{n^2\pi}((-1)^n-1)=\begin{cases}-\dfrac{2}{n^2\pi}, &\text{nếu } n \text{ lẻ},\\ 0,&\text{nếu }n\text{ chẵn}.\end{cases}\\b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\sin nxdx=\dfrac{1}{\pi}\left[\left.-\dfrac{x\cos nx}{n}\right|_{0}^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int\limits_{0}^{\pi}\cos nxdx\right]=\\&=\left.-\dfrac{1}{\pi n}x\cos nx\right|_{0}^{\pi}=\begin{cases} \dfrac{1}{n},&\text{nếu }n \text{ lẻ},\\-\dfrac{1}{n},&\text{nếu }n \text{ chẵn}. \end{cases} \end{align*} Vậy với mọi \(x\ne(2k+1)\pi, k\in \mathbb{Z}\) \[f(x)=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{\pi}\left(\dfrac{\cos x}{1^2}+\frac{\cos 3x}{3^2}+\dfrac{\cos 5x}{5^2}+\cdots \right)+\left(\dfrac{\sin x}{1}-\dfrac{\sin 2x}{2}+\dfrac{\sin 3x}{3}-\cdots \right).\] Tại những điểm \(x=(2k+1)\pi, k\in \mathbb{Z}\), tổng của chuỗi bằng \(\dfrac{\pi+0}{2}=\dfrac{\pi}{2}\). Tại các điểm \(x=2k\pi, k\in\mathbb{Z}\) tổng của chuỗi hàm bằng \(\pi\).
Ví dụ 6.3.3: Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số \(f(x)\) chẵn, tuần hoàn, chu kì \(2\pi\), bằng \(\pi -x\) với \(0\leq x\leq \pi\).
Vì \(f(x)\) là hàm chẵn nên \(b_n=0, n=1,2,\ldots\) ta có \begin{align*} a_0&=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(\pi-x)dx=\dfrac{2}{\pi}{\left(\pi x-\dfrac{x^2}{2}\right)}\Big|_{0}^{\pi}=\pi.\\a_n&=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(\pi-x)\cos nxdx=\dfrac{2}{\pi}\left[\left.(\pi-x)\frac{\sin nx}{n}\right|_{0}^{\pi}+\int\limits_{0}^{\pi}\dfrac{\sin nx}{n}dx\right]=\\&=\left.\dfrac{2}{n^2\pi}\cos nx\right|_{0}^{\pi}=\frac{2}{n^2\pi}(1-(-1)^n)=\begin{cases} 0,&\text{nếu } n \text{ chẵn},\\\dfrac{4}{n^2\pi},&\text{nếu }n \text{ lẻ}. \end{cases} \end{align*} Do đó, với mọi \(x\in\mathbb{R}\) \[f(x)=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{4}{\pi}\left(\cos x +\dfrac{\cos 3x}{3^2}+\cdots+\dfrac{\cos (2k+1)x}{(2k+1)^2}+\cdots\right).\]
Như vậy nếu hàm \(f\) là hàm chẵn thì chuỗi Fourier của nó có các hệ số \(b_n=0, n=1,2,\ldots\) và \[a_0=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)dx;\qquad a_n=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx.\]
Tương tự, với \(f\) là hàm lẻ thì ta có các hệ số \(a_n=0, n=0,1,2,\ldots\) và \[b_n=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.\]
Chuỗi Fourier hàm tổng quát
Giả sử \(g\) là một hàm khả tích và tuần hoàn với chu kỳ \(2l\). Khi đó, bằng cách đặt \[f(x):=g\left(\dfrac{l}{\pi}x\right)\] ta nhận được hàm \(f\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\). Chuỗi Fourier tương ứng với \(f\) là \[\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big),\] trong đó \begin{align*} a_n&=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx=\dfrac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}g(u)\cos\left(n\dfrac{\pi}{l}u\right)du,\quad n=0,1,\ldots,\\ b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\dfrac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}g(u)\sin\left(n\dfrac{\pi}{l}u\right)du,\quad n=1,2,\ldots. \end{align*} Vậy chuỗi đã cho tương ứng với hàm \(g\) là \[\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(n\dfrac{\pi}{l}u\right)+b_n\sin\left(n\dfrac{\pi}{l}u\right)\right).\]
Bằng phép đổi biến trong chứng minh ta cũng nhận được kết quả:
Định lí 6.3.4: Nếu hàm \(g\) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm \(x\), thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại điểm \(x\) đến giá trị \(g(x)\).
Ví dụ 6.3.4: Cho hàm tuần hoàn chu kỳ \(2\) xác định bởi \[g(x)=x^2,\;x\in[-1;1].\]
Ta tính được các hệ số Fourier như sau \[a_0=\int\limits_{-1}^{1}x^2dx=\dfrac{2}{2}\int\limits_{0}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}.\] \[a_n=\int\limits_{-1}^{1}x^2\cos(n\pi x)dx=(-1)^n\dfrac{4}{\pi^2},\quad n=1,2,\ldots\]
Do hàm đã cho là hàm chẵn trên \([-1;1]\) nên \(b_n=0,\;n=1,2,\ldots\).
Chuỗi Fourier tương ứng của hàm \(g\) là \[\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(n\pi x).\]
Vì hàm \(g\) thỏa mãn tính chất của định lý trên tại mọi điểm \(x\in[-1;1]\) nên \[x^2=\dfrac{1}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(n\pi x),\; x\in[-1;1]. \]
Đặc biệt, \[1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{\pi^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}\] do đó \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.\]
Xấp xỉ hàm \(x^2\) bởi \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{3}\cos(k\pi x)\) trên \(\left[-1;1\right]\).
Khai triển một hàm bất kì thành chuỗi Fourier
Giả sử hàm \(f(x)\) là một hàm số thỏa mãn các điều kiện của Định lý Dirichlet trên đoạn \([a,b]\). Muốn khai triển hàm \(f(x)\) thành chuỗi Fourier, ta xây dựng một hàm số tuần hoàn \(g(x)\) có chu kỳ lớn hơn độ dài đoạn \([a,b]\) sao cho: \[g(x)=f(x)\text{ với mọi }x\in[a,b].\] Nếu hàm số \(g(x)\) có thể khai triển được thành chuỗi Fourier thì tổng của chuỗi đó bằng \(f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \([a,b],\) trừ tại một số điểm gián đoạn. Rõ ràng chúng ta có nhiều cách để xây dựng hàm \(g(x)\) như vậy. Với mỗi hàm số \(g(x)\) ta có một chuỗi Fourier tương ứng, do đó ta có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm \(f(x)\) trên đoạn \([a,b]\).
Nếu \(f(x)\) là hàm chẵn, thì chuỗi Fourier tương ứng chỉ gồm những hàm số cosin (ta gọi là chuỗi toàn cosin); nếu \(f(x)\) là hàm lẻ, thì chuỗi Fourier tương ứng chỉ gồm những hàm số sin (ta gọi là chuỗi toàn sin).
Ví dụ 6.3.5: Khai triển hàm \(f(x)=\dfrac{x}{3}\) với \(x\in[0;2]\). Ta khai triển ở dạng toàn cosin như sau: Xây dựng hàm \(g(x)=\dfrac{1}{3}\vert x\vert; \;x\in [-2;2]\). Rõ ràng, \(g(x)\) là một hàm chẵn và \(g(x)=f(x)\) với mọi \(x\in[0;2]\). Nên \(b_n=0,\, n=1,2,\ldots\) \begin{align*} a_0&=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-2}^{2}g(x)dx=\int\limits_{0}^{2}\dfrac{1}{3}xdx=\dfrac{2}{3},\\ a_n&=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-2}^{2}g(x)\cos(\dfrac{n\pi x}{2})dx=\dfrac{2}{2}\int\limits_{0}^{2}\dfrac{1}{3}x\cos(\dfrac{n\pi x}{2})dx=\dfrac{4}{3n^2\pi^2}(\cos n\pi-1). \end{align*} Vậy chuỗi \(g(x)=\dfrac{1}{3}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\cos n\pi-1)\cos\dfrac{n\pi x}{2}\). Nếu ta chọn khai triển toàn sin thì làm tương tự.
{discussion:1161.6.3}
Last modified: Thursday, 5 September 2024, 9:14 AM
