Thảo luận nội dung "Các phép toán trên ma trận"
2.1. Các phép toán trên ma trận
Completion requirements
Các phép toán trên ma trận
Hai ma trận bằng nhau
Hai ma trận \(A, B\in\mathcal M_{m\times n}\) được gọi là bằng nhau khi \(a_{ij}=b_{ij}\) với \(i=\overline{1,m}\) và \(j=\overline{1,n}\).
Ví dụ 1: Cho các ma trận
\[A=\begin{pmatrix}2&1\\3&x\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}2&1\\3&5\end{pmatrix},\quad\text{và}\quad
C=\begin{pmatrix}2&1&0\\3&x&0\end{pmatrix}.\]Ta
có \(\begin{cases}A=B&\text{khi }x=5,\\A\neq
B&\text{khi }x\neq 5,\\A\neq C&\text{với mọi
}x.\end{cases}\)
Cộng hai ma trận
Cho \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) và \(B=(b_{ij})_{m\times n}\). Tổng của hai ma trận \(A\) và \(B\) được định nghĩa bởi: \(A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}\).
Ví dụ
2: \(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3&2&-1\\4&0&5\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&4&2\\8&5&11\\\end{pmatrix}\).
Tính chất:
i. \(A + B = B + A\)
ii. \((A + B) + C = A + (B + C)\).
iii. \(A + \mathbf{O} = \mathbf{O} + A\).
i. \(A + B = B + A\)
ii. \((A + B) + C = A + (B + C)\).
iii. \(A + \mathbf{O} = \mathbf{O} + A\).
Phép nhân một số với một ma trận
Cho \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) và \(\alpha\in \mathbb R\). Phép nhân \(\alpha\) với \(A\) được định nghĩa bởi \(\alpha A=(\alpha a_{ij})_{m\times n}\).
Tích của hai ma trận
Cho \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) và \(B=(b_{ij})_{n\times p}\). Tích của hai ma trận \(A\) và \(B\), ký hiệu \(A\cdot B\), là một ma trận \(C=(c_{ij})_{m\times p}\) được xác định bởi: \[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}.\]
Chú ý
i. Để thực hiện được phép toán \(A.B\) thì số cột của \(A\) phải bằng số hàng của \(B\).
ii. Phần tử \(c_{ij}\) của ma trận tích được tính từ các phần tử ở dòng \(i\) của \(A\) và các phần tử cột \(j\) của \(B\). Ta thường nói \(c_{ij}\) bằng dòng \(i\) của \(A\) nhân với cột \(j\) của \(B\). Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Ví dụ 3: Cho
\(A=\begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1\\ \end{pmatrix}\) và
\(B=\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\\ \end{pmatrix}\). Khi đó
\begin{align}A\cdot B&=\begin{pmatrix}
1.1+(-1).2&1.1+(-1).2\\ (-1).1+1.2&(-1).1+1.2\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1&-1\\ 1&1\\
\end{pmatrix},\\\text{}\\B\cdot A&=\begin{pmatrix}
1.1+1.(-1)&1.(-1)+1.1\\ 2.1+2.(-1)&2.(-1)+2.1\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0\\
\end{pmatrix}.\end{align} Cho \(C=\begin{pmatrix}
1&0&2\\ 3&4&1\\ \end{pmatrix}\) và
\(D=\begin{pmatrix} -1&0\\ 2&3\\ 1&0\\
\end{pmatrix}\). Khi đó \[C\cdot D=\begin{pmatrix}
1.(-1)+0.2+2.1&1.0+0.3+2.0\\
3.(-1)+4.2+1.1&3.0+4.3+1.0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0\\ 6&12\\ \end{pmatrix}.\]
Tính chất
Với \(A,B,C\) là các ma trận tùy ý (sao cho phép toán có nghĩa)
ta có
i. \(A.(B.C)=(A.B).C\).
ii.\(O.A=O.\)
iii. \(A.I=I.A=A.\)
iv. \(A.(B\pm C)=A.B\pm A.C.\)
v. \((B\pm C).A=B.A\pm C.A.\)
vi. \(\alpha (A.B)=(\alpha A).B=A.(\alpha B), \forall \alpha
\in \mathbb{R}\).
Phép chuyển vị ma trận
Cho ma trận \(A\in\mathcal M_{m\times n}\). Ma trận thu được từ \(A\) bằng cách viết các dòng của \(A\) lần lượt thành các cột được gọi là ma trận chuyển vị của \(A\) và kí hiệu là \(A^t\), khi đó \(A^t\in\mathcal M_{n\times m}\).
Ví dụ 4: Cho \(A=\begin{bmatrix}
1&0&2\\ 3&-1&-2\\ \end{bmatrix}\), khi đó
\(A^t=\begin{bmatrix} 1&3\\ 0&-1\\ 2&-2\\
\end{bmatrix}\).
Tính chất
Cho \(A\in\mathcal M_{m\times n}\) và \(B\in\mathcal M_{n\times
p}\). Khi đó:
i. \((A^t)^t=A\).
ii.\((A+B)^t=A^t+B^t\).
iii.\((\alpha A)^t=\alpha A^t\) với \(\alpha\in\mathbb
R\).
iv.\((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).
Lũy thừa của một ma trận vuông
Cho \(A\in\mathcal M_n\), lũy thừa bậc \(k\in\mathbb Z_+\) của \(A\) cho bởi: \[A^k=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{k\text{ lần}}.\]
Quy ước: \(A^0=\mathbf{I}_n\).
Ví dụ 5: Cho ma trận
\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\). Khi đó:
\[A^0=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad
A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad
A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix},\qquad\cdots,\qquad
A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}.\]
Last modified: Wednesday, 4 September 2024, 10:17 AM