Để tìm hạng của \(A\in\mathcal M_{m\times n}\), ta có thể dùng các phương pháp sau:
tính các định thức con từ cấp 2 trở lên. Giả sử ma trận có một định thức con cấp \(r\) khác 0, tính tiếp các định thức cấp \(r+1\), nếu tất cả đều bằng 0 thì kết luận hạng ma trận là \(r\), nếu có định thức cấp \(r+1\) khác 0 thì tính tiếp các định thức cấp \(r+2\), cứ như thế đến định thức cấp lớn nhất.
Ta có định thức con cấp 2: \(\begin{vmatrix}1&2\\3&2\end{vmatrix}=-4\neq 0\) và các định thức cấp 3 \[\begin{vmatrix}1&2&3\\3&2&4\\1&0&1\end{vmatrix}=0,\quad \begin{vmatrix}1&2&5\\3&2&9\\1&0&4\end{vmatrix}=0,\quad \begin{vmatrix}1&3&5\\3&4&9\\1&1&4\end{vmatrix}=0,\quad \begin{vmatrix}2&3&5\\2&4&9\\0&1&4\end{vmatrix}=0,\] suy ra \(r(A)=2\).
Đưa ma trận về dạng bậc thang, khi đó số hàng khác 0 chính là hạng của ma trận.
Ta có:\[ \begin{pmatrix} 1&-3&4&2\\ 2&1&1&4\\ -1&-2&1&-2\\ \end{pmatrix}\xrightarrow[h_2:=-2h_1+h_2]{-h_3:=h_1+h_3}\begin{pmatrix} 1&-3&4&2\\ 0&7&-7&0\\ 0&-5&5&0\\ \end{pmatrix}\xrightarrow{h_3:=5/7h_2+h_3}\begin{pmatrix} 1&-3&4&2\\ 0&7&-7&0\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}.\] Vậy \(r(A)=2\).
Thảo luận nội dung "Hạng của ma trận"